말랑말랑 수학문제 #5

<문제>

$100$ 이상의 자연수 $n$ 에 대해 $n+1$ 개의 숫자들로 이뤄진 집합 $A = \{n, n+1, \cdots, 2n\}$ 를 생각하자. 집합 $A$ 를 임의로 두 개의 집합 $B$ , $C$ 로 분할할 때 임의로 분할된 $B$ , $C$ 에 대하여 적어도 한 집합에는 합이 제곱수가 되는 두 수가 존재함을 보여라.

 

-----풀이 스포를 주의하세요-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<풀이>

이 문제 풀이의 모티브는 아래의 조건을 만족하는 숫자 3개를 찾는 것이다.

 

$$x+y = p^2$$

$$y+z = q^2$$

$$z+x = r^2$$

 

당연히 $x$ , $y$ , $z$ 는 집합 $A$ 에 속하는 숫자들이고 집합 $B$ , $C$ 로 나눌 때 3개 중 2개는 무조건 같은 집합에 들어가기 때문에 문제를 증명할 수 있다. 

$p$ , $q$ , $r$ 은 다양하게 선택될 수 있지만 제일 간단하게 연속된 세 수로 선택하겠다. 그래서 위 식을 다시 다음과 같이 적을 수 있다.

 

$$x+y = (2m-1)^2$$

$$y+z = (2m)^2$$

$$z+x = (2m+1)^2$$

 

일차 연립방정식을 풀어서 $x$ , $y$ , $z$ 를 구해보면 다음과 같다.

 

$$x = \frac{1}{2}\{(2m-1)^2 + (2m+1)^2 - (2m)^2\} = 2m^2+1$$

$$y = \frac{1}{2}\{(2m-1)^2 + (2m)^2 - (2m+1)^2\} = 2m^2-4m$$

$$z = \frac{1}{2}\{(2m+1)^2 + (2m)^2 - (2m-1)^2\} = 2m^2+4m$$

 

$x$ , $y$ , $z$ 를 대소비교 해보면 $y<x<z$ 이므로 집합 $A$ 에 세 수가 모두 포함될 조건은 아래와 같다.

 

$$n \leq 2m^2-4m \; , \; 2m^2+4m \leq 2n$$

 

따라서 $m^2+2m \leq n \leq 2m^2-4m$ 을 만족하는 자연수 $m$ 이 존재함을 보이면 충분하다.

임의의 자연수 $k$ 에 대해 $m^2+2m \leq k \leq (m+1)^2+2(m+1)$ 을 만족하는 자연수 $m$ 은 항상 존재한다. $(\because$ 저 구간들의 합집합이 자연수를 덮기 때문에$)$

 

$n$ 에 대해 자연수 $m$ 이 $m^2+2m \leq n \leq (m+1)^2+2(m+1)$ 을 만족한다고 가정하자. $n \geq 100$ 이므로 $(m+1)^2+2(m+1) \geq 100$ 이 성립한다. 따라서 $m+1 \geq 10$ 이기 때문에 $m \geq 9$ 이 성립한다.

자연수 $m$ 이 $9$ 이상이므로 다음과 같은 부등식이 성립한다.

 

$$m(m-8) \geq 9 \times 1 > 3$$

 

이 부등식을 조금 더 예쁘게 정리하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

$$m^2 - 8m - 3 > 0$$

$$2m^2 - 4m > m^2 +4m +3 = (m+1)^2 + 2(m+1)$$

 

따라서 $m^2+2m \leq n \leq (m+1)^2 + 2(m+1) < 2m^2 - 4m$ 을 만족하므로 임의의 $100$ 이상인 자연수 $n$ 에 대해 자연수 $m$ 을 찾을 수 있음을 보였고 그렇게 문제를 증명하였다. $\blacksquare$