Strauss PDE Appendix A.2 정리

Infinite series of functions

Infinite series $S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 는 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ 의 극한으로 정의된다. 따라서 infinite series 가 converges 하다는 것은 $S$ 가 유한한 수일 때 $\lim_{N \rightarrow \infty} S_N = S$ 을 만족하는 것이다. 수학적으로 정의하면 아래 식과 같다.

 

$$ \forall \, \epsilon >0 \; \exists \, n \in \mathbf{N} \; s.t. \;  N \geq n \, \Rightarrow \, |S_N - S| < \epsilon$$

 

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges 하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ 이 성립한다. 하지만 반대는 성립하지 않은데 대표적인 예시는 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 으로 들 수 있다.

 

Absolutely convergent and conditionally convergent

만약 series의 모든 항이 $0$ 이상이라면, $S_N$ 은 $N$ 이 커질수록 계속 증가하므로 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 converges 하거나 $+\infty$ 로 발산하게 된다. $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 이 converges 하다면 당연하게 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 도 converges 하므로 다음과 같이 convergent를 정의할 수 있다.

 

$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ converges $\rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 는 'absolutely convergent'

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges 이고 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ diverges $\rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 는 'conditionally convergent'

 

Comparison test

$1.$ 모든 자연수 $n$ 에 대해 $|a_n| \leq b_n$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 이 converges 하면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 converges absolutely 하다.

$2.$ 모든 자연수 $n$ 에 대해 $|a_n| \leq b_n$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 이 diverges 하면 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 도 diverges 한다.

$3.$ $a_n \geq 0 \, ,$ $\, b_n \geq 0$ 이고 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = L\; (0 \leq L < \infty)$ 을 만족하며 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 이 converges 하면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 도 converges 하다.

 

Series of functions

$(a, b)$ 구간에서 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 가 $f(x)$ 로 'converges pointwise' 하다의 정의는 '$a < x < b$ 를 만족하는 각각의 $x$ 에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 가 $f(x)$ 로 converges 하다' 이다. 좀 더 수학적으로 엄밀하게 적어보면 다음과 같다.

 

$$ \forall \, \epsilon >0 \; \exists \, n \in \mathbf{N} \; s.t. \;  N \geq n \, \Rightarrow \, \left|f(x) - \sum_{n=1}^{N}f_n(x) \right| < \epsilon$$

 

$n$ 은 $\epsilon$ 에 의해서 값이 영향을 받지만 $x$ 값에 의해서도 영향을 받게 된다. (즉, $x$ 값에 따라 $n$ 값이 달라진다.)

 

$[a, b]$ 구간에서 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 가 $f(x)$ 로 'converges uniformly' 하다의 정의는

 

$$\max_{a \leq x \leq b} \left| f(x) - \sum_{n=1}^{N}f_n(x) \right| \; \rightarrow \; 0  \quad as \quad N \, \rightarrow \, \infty$$

 

pointwise 와의 가장 큰 차이점은 이 경우 $N$ 이 $x$ 에는 의존하지 않는다.

 

Comparison test

$c_n$ 은 상수이고 모든 $a \leq x \leq b$ 와 모든 $n$ 에 대하여 $|f_n(x)| \leq c_n$ 을 만족할 때 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 이 converges 하다면 $[a, b]$ 구간에서 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 가 converges uniformly 하다.

 

Convergence theorem (term by term integration)

$f_n(x)$ 는 $[a, b]$ 에서 연속인 함수이고 $[a, b]$ 에서 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 가 $f(x)$ 로 converges uniformly 할 때 $f(x)$ 는 $[a, b]$ 에서 연속함수이고 아래의 식도 만족한다.

 

$$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx$$

 

Convergence of Derivatives

$f_n(x)$ 는 $[a, b]$ 에서 differentiable 하고 적당한 $a \leq c \leq b$ 에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(c)$ 는 converges 하며 $[a, b]$ 에서 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n'(x)$ 가 converges uniformly 하다면,

$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 는 $f(x)$ 로 converges uniformly 하고 differentiable 하며 아래의 관계도 만족한다.

 

$$\sum_{n=1}^{\infty} f_n'(x) = f'(x)$$