말랑말랑 수학문제 #19

<문제>

선수 두 명이 테니스 경기를 $3$ 경기 진행한다고 가정하자. 그렇다면 테니스 경기가 $2$ 경기만에 끝나는 것에 베팅하는 것이 유리한지 $3$ 경기만에 끝나는 것에 베팅하는 것이 유리한지 판단해 보아라. 

 

-----풀이 스포를 주의하세요-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<풀이>

두 선수를 $A$, $B$ 라고 하자. 우리는 $A$ 와 $B$ 의 실력을 알 수 없으므로 $A$ 가 $B$ 를 이길 확률을 $p$ 라 하자. 그럼 반대로 $B$ 가 $A$ 를 이길 확률은 $q$ 라고 하자. 테니스 경기가 $2$ 경기만에 끝나려면 $2$ 번 모두 같은 사람이 이겨야 하므로 $2$ 경기만에 끝날 확률은 $p^2+q^2$ 이다.

반면 $3$ 경기만에 끝나려면 처음 $2$ 경기에서 한 명씩 번갈아 승리해야 하므로 $3$ 경기만에 끝날 확률은 $2pq$ 가 된다.

 

$(p-q)^2 \geq 0$ 혹은 산술기하 부등식에 의해

 

$$p^2+q^2 \geq 2pq$$

 

이므로 $2$ 경기만에 끝나는 것에 베팅하는 것이 유리하다.