말랑말랑 수학문제 #22

<문제>

가방 안에 $2$ 개의 빨간 공과 $2$ 개의 파란 공이 들어있다. 가방에서 공을 하나씩 꺼낼 때 색깔을 제대로 예측하면 $1$ 달러를 받는 게임을 진행할 때 당신은 이 게임 참가비용을 얼마까지 지불할 의향이 있는가? (단, 공은 한 번 꺼내면 다시 넣지 않는다.)

 

-----풀이 스포를 주의하세요-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<풀이>

결국 이 게임을 진행할 때 얼마만큼의 돈을 받을 수 있는지 기댓값을 계산하면 되는 문제이다.

 

$1.$ 처음 공을 꺼내는 경우

공이 각각 $2$ 개씩 존재하므로 공의 색깔을 맞출 확률은 $\frac{1}{2}$ 가 된다. 따라서 처음 공을 꺼내는 경우 받을 수 있는 돈의 기댓값은 $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ 달러이다.

 

$2.$ 두 번째, 세 번째 공을 꺼내는 경우

처음 뽑힌 공의 색깔을 알기 때문에 당연히 두 번째 공 색깔의 예측은 당연히 처음 나온 공과 다른 색의 색깔을 예측해야 한다. ($\because$ $\frac{2}{3}$ 확률로 공의 색깔을 맞출 수 있기 때문에)

 

$(1)$ 두 번째 공의 색깔이 예측한 색깔과 동일한 경우

두 개의 공을 뽑고 나면 남은 공들은 빨간색 $1$ 개, 파란색 $1$ 개 여서 색깔을 맞출 확률은 $\frac{1}{2}$ 가 된다.

그래서 얻게 되는 달러의 기댓값은 $\frac{2}{3} \times 1 +\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = 1$ 달러이다.

 

$(2)$ 두 번째 공의 색깔이 예측한 색깔과 다른 경우

두 개의 공을 뽑고 나면 남은 공들의 색깔은 모두 동일하므로 세 번째 공은 무조건 맞출 수밖에 없다. 그래서 얻게 되는 달러의 기댓값은 $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$ 달러이다.

 

$3.$ 네 번째 공을 꺼내는 경우

마지막 공은 무조건 맞출 수밖에 없으므로 얻게 되는 달러의 기댓값은 $1$ 달러가 된다.

 

$3$ 가지 경우를 모두 종합하여 게임의 총 기댓값은 다음과 같다.

 

$$\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{17}{6}$$

 

답) $\frac{17}{6}$ 달러