프리드버그 선형대수학 1.6단원 : 기저와 차원의 정의

1.6 Bases and dimension

vector space $V$ 의 linearly independent 부분집합들 중 $span(\beta) = V$ 가 성립하는 $\beta \subset V$ 가 존재하면 $\beta$ 를 basis 라고 한다.

 

Basis의 예시

$1.$ $span(\emptyset) = \{0\}$ 이고 $\emptyset$ 은 linearly independent 하므로 $\emptyset$ 은 zero vector space의 basis이다.

 

$2.$ $e_1 = (1,0,\cdots,0),\; e_2 = (0,1,0,\cdots,0),\; \cdots \;e_n = (0,0,\cdots,0,1)$ 은 $F^n$ 의 basis이고 우리는 더 자세하게 standard basis 라고 부른다.

 

$3.$ $E^{ij}$ 는 $i$ 번째 행과 $j$ 번째 열에 있는 원소만 $1$ 이고 나머지는 모두 $0$ 인 $M_{m \times n}(F)$ 에 속한 행렬이라면 $\{ E^{ij}\,:\, 1\leq i \leq m, 1\leq j \leq n \}$ 이 $M_{m\times n}(F)$ 의 basis 가 된다.  

 

$4.$ $\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}$ 은 $P_n(F)$ 의 basis 이고 더 자세하게 standard basis 라고 부른다.

 

$5.$ $\{1,x,x^2,\cdots \,\}$ 은 $P(F)$ 의 basis 이다.

 

Theorem 1.8

vector space $V$ 의 subset $\beta = \{u_1,u_2,\cdots,u_n\}$ 에 대하여 '$\beta$ 가 $V$ 의 basis 이다'와 '모든 $v \in V$ 에 대하여 $v$ 를 $\beta$ 원소들의 linear combination 으로 표현하는 방법이 유일하다'가 서로 필요충분조건이다.

 

증명)

먼저 $\beta$ 가 $V$ 의 basis 인 경우를 먼저 살펴보자. 만약 어떤 $v \in V$ 와 scalar $a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_n$ 이 존재하여 다음의 식이 만족한다고 가정하자.

 

$$v = a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n = b_1u_1+b_2u_2+\cdots+b_nu_n$$

 

식을 정리하면

 

$$(a_1-b_1)u_1+(a_2-b_2)u_2+\cdots+(a_n-b_n)u_n = 0$$

 

이 성립하고 $\beta$ 는 basis 이므로 linearly independent 하다. 즉 $a_1-b_1 = a_2-b_2 = \cdots = a_n-b_n = 0$ 이 성립하여 모든 $v \in V$ 에 대하여 $\beta$ 원소들의 linear combination 으로 표현하는 방법이 유일하다. $\blacksquare$

 

반대로 모든 $v \in V$ 에 대해 $v$ 를 $\beta$ 원소들의 linear combination 으로 표현하는 방법이 유일한 경우를 생각하자. $\beta$ 의 linear combination 으로 모든 $v \in V$ 를 표현할 수 있으므로 $V \subset span(\beta)$ 가 성립한다.

만약 $span(\beta)$ 에 속하지만 $V$ 에 속하지 않는 vector $q$ 가 있다고 가정해 보자. $q \in span(\beta)$ 이므로 scalar $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 이 존재하여

 

$$q = c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_nu_n$$

 

이 성립한다. vector space 정의에 의해 $c_iu_i \in V$ 이고 그것들의 sum들도 당연히 $V$ 에 속해야 한다. 그러므로 $q \in V$ 인데 $q$ 의 정의에 모순이므로 $span(\beta) \subset V$ 가 성립한다. 따라서 $span(\beta) = V$ 이다.

 

만약 $\beta$ 가 linearly dependent 하다면 scalar $d_2, d_3, \cdots, d_n$ 이 존재하여 $u_1 = d_2u_2+d_3u_3+\cdots d_nu_n$ 이 성립한다. $u_1 = u_1$ 이기도 하므로 $u_1$ 이 $2$ 가지 이상의 방법으로 표현되어서 가정에 모순이다. $\blacksquare$

 

Theorem 1.9

vector space $V$ 가 유한한 집합 $S$ 에 의해 generate 된다면 $V$ 의 basis 가 되는 $S$ 의 부분집합이 존재한다. 따라서 $V$ 는 finite basis 를 가진다고 할 수 있다.

 

증명)

만약 $S = \emptyset$ 이거나 $S = \{0\}$ 이라면 $V = \{0\}$ 이 된다. $\emptyset \subset S$ 이 $\{0\}$ 의 basis 이므로 성립한다. 그 외의 경우 $S$ 는 항상 nonzero vector $u_1$ 을 포함한다.

 

$\{u_1\}$ 은 원소가 하나인 집합으로 프리드버그 선형대수학 1.5단원 : 일차종속과 일차독립 에 의해 linearly independent 집합이다. 그 뒤로 계속 $\{u_1, u_2, \cdots, u_k\}$ 가 linearly independent 한 집합이 되도록 $S$ 에 속한 vector 들을 하나씩 추가하여 더 이상 추가할 수 없을 때 그 집합을 $\beta = \{u_1, u_2, \cdots, u_k\}$ 라고 하자. $S$ 는 유한한 집합이므로 당연히 $k$ 도 유한한 수로 잘 정해져서 $\beta$ 는 항상 존재하게 된다.

 

지금부터 $\beta$ 가 $S$ 의 basis 가 됨을 보이자.

$\beta$ 는 linearly independent 하므로 $span(\beta) = V$ 임을 보이면 충분하다. 프리드버그 선형대수학 1.4단원 : 선형결합과 일차연립방정식 의 Theorem 1.5 에 의해 $span(\beta) \subseteq V$ 이므로 $V \subseteq span(\beta)$ 임을 보이면 충분하다.

임의의 $v \in S$ 에 대하여 만약 $v \in \beta$ 라면 $v \in span(\beta)$ 여서 성립하므로 $v \notin \beta$ 인 경우만 생각하자. 그러면 $\beta$ 의 정의에 의해 $\beta \cup \{v\}$ 는 linearly dependent 일 수밖에 없다. 

따라서 프리드버그 선형대수학 1.5단원 : 일차종속과 일차독립 의 Theorem 1.7 에 의해 $v \in span(\beta)$ 여서 $S \subseteq span(\beta)$ 가 성립한다. $\blacksquare$

 

Theorem 1.9를 통해 우리는 $V$ 의 finite spanning set 의 부분집합을 적절하게 잘 골라서 $V$ 의 basis 를 만들 수 있음을 알 수 있다.

 

Theorem 1.10 (Replacement Theorem)

vector space $V$ 가 정확히 $n$ 개의 vector 를 가지고 있는 집합 $G$ 에 의해 generate 되고 $L$ 은 vector space $V$ 에서 정확히 $m$ 개의 vector 를 가지고 있는 linearly independent set 일 때 $m \leq n$ 이 성립한다. 또한, 정확히 $n-m$ 개의 vector 를 가지면서 $L \cup H$ 가 $V$ 를 generate 하는 $G$ 의 subset $H$ 가 존재한다.

 

증명)

$m$ 에 대한 수학적 귀납법으로 문제를 해결하겠다. $m=0$ 인 경우 $0 \leq n$ 이고 $L = \emptyset$ 이므로 $H=G$ 로 선택하면 정확히 $n$ 개의 vector 를 가지면서 $L \cup H$ 가 $V$ 를 generate 하므로 성립한다.

수학적 귀납법을 적용하기 위해 $0 \leq m$ 인 경우에 성립한다고 가정하고 $m+1$ 일 때 성립함을 보이자.

$m+1$ 개의 vector 를 가지고 있는 linearly independent set $L$ 을 $L = \{v_1,v_2,\cdots,v_{m+1}\}$ 이라고 정의하자. 

프리드버그 선형대수학 1.5단원 : 일차종속과 일차독립 의 Theorem 1.6 에 의해 $\{v_1, v_2, \cdots,v_m\}$ 도 linearly independent 하다. 

$\{v_1, v_2, \cdots.v_m\}$ 에 대하여 수학적 귀납법 가정을 적용하면 $\{v_1, v_2, \cdots,v_m\} \cup \{u_1, u_2, \cdots, u_{n-m}\}$ 이 $V$ 를 generate 하는 $G$ 의 subset $\{u_1, u_2, \cdots, u_{n-m}\}$ 이 존재한다. 따라서 전부 $0$ 은 아닌 scalar $a_1, a_2, \cdots, a_m, b_1, b_2, \cdots, b_{n-m}$ 이 존재하여 

 

$$a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m+b_1u_1+b_2u_2+\cdots+b_{n-m}u_{n-m} = v_{m+1}$$

 

을 만족한다. $n = m$ 이라면 $\{v_1, v_2, \cdots, v_{m+1}\}$ 이 linearly independent 라는 것에 모순이므로 따라서 $n > m$ 을 만족한다. 따라서 $n \geq m+1$ 이므로 $b_i$ 들 중 $0$ 이 아닌 것이 적어도 $1$ 개 이상 존재한다. 우리는 그것을 일반성을 잃지 않고 $b_1$ 이라 하자.

 

양변을 $b_1$ 으로 나누고 $u_1$ 중심으로 정리하면

 

$$u_1 = (-b_1^{-1}a_1)v_1+(-b_1^{-1}a_2)v_2+\cdots+(-b_1^{-1}a_m)v_m+(b_1^{-1})v_{m+1}+(-b_1^{-1}b_2)u_2+\cdots+(-b_1^{-1}b_{n-m})u_{n-m}$$

 

다음과 같고 이때 $H=\{u_2,\cdots,u_{n-m}\}$ 이라고 정의하자.

 

그러면 위의 식에 의해 $u_1 \in span(L \cup H)$ 가 성립한다. 또한,

 

$$\{v_1, v_2, \cdots, v_m,u_1,u_2,\cdots,u_{n-m}\} \subseteq span(L \cup H)$$

 

이고 $\{v_1, v_2, \cdots, v_m,u_1,u_2,\cdots,u_{n-m}\}$ 이 $V$ 를 generate 하므로 프리드버그 선형대수학 1.4단원 : 선형결합과 일차연립방정식 의 Theorem 1.5 에 의해 $V \subseteq span(L \cup H)$ 이 성립한다. 따라서 $V = span(L \cup H)$ 이고 $H$ 는 정확히 $n-(m+1)$ 개의 원소를 포함하는 $G$ 의 부분집합이므로 $m+1$ 인 경우 증명이 완료되었다. $\blacksquare$

 

Corollary 1

vector space $V$ 가 finite basis 를 가진다고 할 때 $V$ 의 모든 basis 들은 같은 수의 vector 들을 가지고 있다.

 

증명)

$V$ 의 finite basis $\beta$ 가 정확히 $n$ 개의 vector 들로 구성되어 있다고 하자. 그럴 때 $V$ 의 다른 basis $\gamma$ 가 $n$ 개보다 많은 vector 를 가지고 있다고 가정해보자. $\gamma$ 의 부분집합 $S$ 를 정확히 $n+1$ 개의 vector 를 가지고 있도록 임의로 선택해보자. $S$ 는 linearly independent 한 집합이고 $\beta$ 는 $V$ 를 generate 하므로 바로 위 Theorem 1.10 에 의해 $n+1 \leq n$ 이어서 모순이다. 따라서 $V$ 의 다른 basis $\gamma$ 는 유한개의 vector 를 가지고 그 수 $m$ 은 $n$ 보다 작거나 같다. 이번에 반대로 $\beta$ 는 linearly independent 한 집합이고 $\gamma$ 는 $V$ 를 generate 하므로 Theorem 1.10 에 의해 $n \leq m$ 이 되어 $n = m$ 이 성립한다. $\blacksquare$

 

vector space 의 basis 가 유한한 수의 vector 를 포함하고 있다면 우리는 그 vector space 를 finite-dimensional 이라고 한다. 위의 Corollary 1 에 의해 basis 의 vector 수가 유일하므로 그 개수를 dimension of $V$ 라고 하고 $dim(V)$ 라 표기한다. 그리고 finite-dimensional 이 아닌 vector space 는 infinite-dimensional 이라고 부른다.

 

Dimension 예시

$1.$ vector space $\{0\}$ 의 dimension 은 $0$

$2.$ vector space $F^n$ 의 dimension 은 $n$

$3.$ vector space $M_{m \times n}(F)$ 의 dimension 은 $mn$

$4.$ vector space $P_n(F)$ 의 dimension 은 $n+1$

 

같은 vector space 라도 scalar 의 범위에 따라 달라지는데 아래의 예시를 통해 확인해 볼 수 있다.

$1.$ field 가 complex numbers 이고 vector space 도 complex numbers 라면 basis 가 $\{1\}$ 이므로 dimension 은 $1$ 이다. 

$2.$ field 가 real numbers 이고 vector space 도 complex numbers 라면 basis 가 $\{1, i\}$ 이므로 dimension 은 $2$ 이다. 

 

Corollary 2

vector space $V$ 는 dimension 이 $n$ 일 때 다음이 성립한다.

$(a)$ $V$ 를 generate 하는 유한한 집합들은 적어도 $n$ 개 이상의 vector 들을 가지고 정확히 $n$ 개의 vector 를 가지는 $V$ 의 generate 집합은 $V$ 의 basis 가 된다.

$(b)$ $V$ 의 linearly independent subset 이 정확히 $n$ 개의 vector 들을 포함하면 $V$ 의 basis 이다.

$(c)$ 모든 $V$ 의 linearly independent subset 은 $V$ 의 basis 로 확장가능하다.

 

증명)

증명에 들어가기에 앞서 $\beta$ 를 $V$ 의 basis 중 하나라고 하자.

$(a)$ $G$ 가 $V$ 의 finite generating set 이라고 하자. 위의 Theorem 1.9 에 의해 $G$ 의 subset $H$ 가 존재하여 $V$ 의 basis 가 된다. 위의 Corollary 1 에 의해 $H$ 는 정확히 $n$ 개의 vector 를 가지고 있게 된다. 그 말은 $G$ 는 $n$ 개 이상의 vector 들을 가지고 있다는 뜻이고 만약 $G$ 가 $n$ 개의 vector 만 가지고 있다면 $G = H$ 가 된다. 따라서 이 경우 $G$ 는 $V$ 의 basis 가 된다.

 

$(b)$ $L$ 이 $n$ 개의 vector 를 포함하면서 linearly independent 하다고 하자. $\beta$ 는 $V$ 의 generate set 이므로 위의 Theorem 1.10 에 의해 $n-n=0$ 개의 vector 를 가지고 있는 $\beta$ 의 부분집합 $H$ 가 존재하여 $L \cup H$ 가 $V$ 를 generate 한다. $H = \emptyset$ 이므로 $L$ 이 $V$ 를 generate 하여 $L$ 은 $V$ 의 basis 가 된다.

 

$(c)$ $L$ 은 $V$ 의 linearly independent subset 이고 $m$ 개의 vector 를 가진다고 하자. $\beta$ 는 $V$ 의 generate set 이므로 위의 Theorem 1.10 에 의해 $n-m$ 개의 vector 를 가지고 있는 $\beta$ 의 부분집합 $H$ 가 존재하여 $L \cup H$ 가 $V$ 를 generate 한다. $L \cup H$ 는 최대 $n$ 개의 vector 가 존재하는데 $(a)$ 에 의해 정확히 $n$ 개의 vector 가 존재한다. 따라서 $L \cup H$ 가 $V$ 의 basis 가 되므로 $L$ 은 basis 로 확장 가능하다. $\blacksquare$

 

The dimension of subspaces

 

Theorem 1.11

$W$ 가 finite-dimensional vector space $V$ 의 subspace 라고 하자. 그럴 때 $W$ 는 finite-dimensional 이고 $dim(W) \leq dim(V)$ 를 만족한다. 또한, 만약 $dim(W) = dim(V)$ 라면 $V = W$ 를 만족한다.

 

증명)

$V$ 의 dimension 을 $n$ 이라고 하자. 만약 $W = \{0\}$ 인 경우 당연히 finite-dimensional 이고 $dim(W) = 0 \leq n$ 이므로 성립한다. 따라서 $W \neq \{0\}$ 인 경우만 생각하자.

$W$ 에 속한 nonzero vector 를 하나 고를 수 있고 그것을 $x_1$ 이라 하자. $\{x_1\}$ 은 원소 하나의 집합이므로 linearly independent 하다. 계속 vector 를 하나씩 추가할 것인데 $\{x_1, x_2, \cdots, x_k\}$ 가 linearly independent 집합이 되도록 $x_i$ 를 최대한 추가하자. linearly independent 한 집합은 최대 $n$ 개의 원소만 포함가능하므로 $k \leq n$ 이 성립한다. $\{x_1, x_2, \cdots, x_k\}$ 는 linearly independent 하지만 $W$ 에 속한 다른 원소를 하나 추가하면 linearly dependent set 이 되어 프리드버그 선형대수학 1.5단원 : 일차종속과 일차독립 의 Theorem 1.7 에 의해 $\{x_1, x_2, \cdots, x_k\}$ 는 $W$ 를 generate 한다고 할 수 있다. 따라서 $\{x_1, x_2, \cdots, x_k\}$ 는 $W$ 의 basis 여서 $dim(W) = k \leq n$ 이 성립한다.

 

만약 $dim(W) = n$ 이라면 $W$ 의 basis 는 $V$ 의 linearly independent subset 이자 $n$ 개가 존재하는데 위의 Corollary 2 에 의해 $W$ 의 basis 는 $V$ 의 basis 와 동일하게 된다. 따라서 $W = V$ 가 성립한다. $\blacksquare$

 

Corollary

$W$ 가 finite-dimensional vector space $V$ 의 subspace 일 때 임의의 $W$ 의 basis 는 $V$ 의 basis 로 extend 가능하다.

 

증명)

$S$ 를 $W$ 의 basis 라 하면 $S$ 는 $V$ 의 linearly independent subset 이기 때문에 위의 Corollary 2 에 의해 $S$ 는 $V$ 의 basis 로 확장이 가능하다. $\blacksquare$

 

The Lagrange Interpolation Formula

$c_0, c_1, \cdots, c_n$ 이 infinite field $F$ 의 서로 다른 scalar 들일 때 다음과 같이 다항식 $f_0(x), f_1(x) ,\cdots, f_n(x)$ 는 다음과 같이 정의하면 Lagrange polynomials 라고 한다.

 

$$f_i(x) = \frac{(x-c_0)\cdots(x-c_{i-1})(x-c_{i+1})\cdots(x-c_n)}{(c_i-c_0)\cdots(c_i-c_{i-1})(c_i-c_{i+1})\cdots(c_i-c_n)} = \prod_{k=0\,,\, k\neq i}^{n}\frac{x-c_k}{c_i-c_k}$$

 

$f_i(x)$ 는 $n$ 차 다항식이라 $P_n(F)$ 에 속하고

 

$$f_i(c_j) = \begin{cases} 0 \quad if \; i \neq j \\ 1 \quad if \; i = j \end{cases}$$

 

실제로 대입해 보면 위와 같은 식이 성립한다.

그리고 또한 $\beta = \{f_0,f_1,\cdots,f_n\}$ 가 $P_n(F)$ 에서 linearly independent 한데 증명은 다음과 같다.

만약 scalar $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 에 대하여 $\sum_{i=0}^n a_if_i=0$ 을 만족한다고 하자.

위의 성질에 의해 $\sum_{i=0}^n a_if_i(c_j) = a_j$ 이므로 $a_j=0$ 이어서 $\beta$ 는 linearly independent 임을 보일 수 있다.

 

 $P_n(F)$ 의 dimension은 $n+1$ 이고 $\beta$ 는 원소가 $n+1$ 개인 linearly independent 한 집합이므로 위의 Corollary 2 에 의해 $\beta$ 는 $P_n(F)$ 의 basis 가 된다.

따라서 임의의 다항식 $g \in P_n(F)$ 에 대해 다음과 같은 linear combination 으로 표현이 된다.

 

$$g = \sum_{i=0}^n b_if_i$$

 

$g$ 에 $c_j$ 를 대입하면 

 

$$g(c_j) = \sum_{i=0}^n b_if_i(c_j) = b_j$$

 

이므로 

 

$$g = \sum_{i=0}^n g(c_i)f_i$$

 

가 성립하게 된다. 그리고 다음과 같은 표현을 Lagrange interpolation formula 라고 부른다.

 

만약 $f \in P_n(F)$ 인 다항식 $f$ 에 대해 서로 다른 $n+1$ 개의 scalar $c_0, c_1, \cdots, c_n$ 이 존재하여 $f(c_i) = 0$ 을 만족한다면 lagrange interpolation formula 에 의해 $f$ 는 그냥 zero function 이 됨을 알 수 있다.