프리드버그 선형대수학 2.2단원 : 선형변환의 행렬 표현

2.2 The matrix representation of a linear transformation 

$V$ 가 finite-dimensional vector space 일 때 ordered basis for $V$ 는 $V$ 의 basis 가 순서와 함께 고려되는 것을 말한다. 예를 들어 $\beta = \{e_1,e_2,e_3\}$ 와 $\gamma = \{e_2,e_1,e_3\}$ 둘 다 $F^3$ 의 basis 이지만 ordered basis 관점에선 $\beta \neq \gamma$ 이다.

 

$F^n$ 에 대하여 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ 은 standard ordered basis for $F^n$ 이라 하고 $P_n(F)$ 에 대하여 $\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}$ 을 standard ordered basis for $P_n(F)$ 라 정의한다.

 

$\beta = \{u_1,u_2,\cdots,u_n\}$ 가 finite-dimensional vector space $V$ 의 ordered-basis 라고 하자. $x \in V$ 가 $x = \sum_{i=1}^{n} a_iu_i$ 로 표현될 때 $[x]_{\beta}$ 를 다음과 같이 정의한다.

 

$$[x]_{\beta} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$$

 

그리고 $[x]_{\beta}$ 를 coordinate vector of $x$ relative to $\beta$ 라고 명칭 한다. 그리고 정의에 의해 $[u_i]_{\beta} = e_i$ 임을 알 수 있다.

 

$V, W$ 는 finite-dimensional vector space 이고 각각 ordered basis 를 $\beta = \{v_1,v_2,\cdots,v_n\} \,,\, \gamma=\{w_1,w_2,\cdots,w_m\}$ 이라 하자. 함수 $T : V \rightarrow W$ 가 linear 이고 $T(v_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij}w_i \,(1 \leq j \leq n)$ 이렇게 표현된다고 할 때 $A_{ij} = a_{ij}$ 인 $m \times n$ matrix 인 $A$ 를 matrix representation of $T$ in the ordered bases $\beta$ and $\gamma$ 라고 정의한다. $A = [T]_{\beta}^{\gamma}$ 로 표기하고 $V=W\,,\, \beta=\gamma$ 일 때 $A = [T]_{\beta}$ 로 표기한다.

 

정의에 의해 $A$ 의 $j$ 번째 column 은 $[T(v_j)]_{\gamma}$ 로 표현되고, 또한 linear transformation $U : V \rightarrow W$ 가 $[U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma}$ 를 만족한다면 프리드버그 선형대수학 2.1단원 : 선형변환, 영공간, 치역의 정의 의 Theorem 2.6 에 의해 $U=T$ 가 성립한다. 

 

$V,W$ 는 field $F$ 위에서 정의된 vector space 이고 $T,U : V \rightarrow W$ 는 임의의 함수이며 $a \in F$ 일 때 함수 $T + U : V \rightarrow W$ 는 $(T+U)(x) = T(x)+U(x)$ 로 정의되고 $aT : V \rightarrow W$ 는 $(aT)(x) = aT(x)$ 로 정의된다.

 

Theorem 2.7

$V,W$ 는 field $F$ 위에서 정의된 vector space 이고 $T,U : V \rightarrow W$ 는 linear 일 때

 

$(a)$ 임의의 $a \in F$ 에 대하여 $aT+U$ 가 linear 이다.

$(b)$ 바로 위에서 정의한 addition 과 scalar multiplication 을 연산으로 가지는 $V$ 에서 $W$ 로 가는 모든 linear transformation 들의 집합이 field $F$ 위에서 vector space 를 이룬다.

 

증명)

$(a)$ $x,y \in V \,,\, c \in F$ 에 대하여 

 

$$(aT+U)(cx+y) = aT(cx+y)+U(cx+y) = a(cT(x)+T(y))+cU(x)+U(y)=c(aT+U)(x)+(aT+U)(y)$$

 

가 성립하여 $aT+U$ 는 linear 이다.

 

$(b)$ 정의역에 있는 $V$ 의 원소를 모두 $0$ 으로 보내는 변환을 $T_0$ 라 하자. 그 $T_0$ 를 vector space 의 zero vector 로 생각하면 vector space 정의 8가지를 모두 만족하게 된다. $\blacksquare$

 

$V,W$ 가 field $F$ 위에서 정의된 vector space 일 때 $V$ 에서 $W$ 로 가는 모든 linear transformation 을 모아놓은 vector space 를 $L(V,W)$ 라 표기하자. 특히 $V=W$ 인 경우 $L(V)$ 라고 한다.

 

Theorem 2.8

$V,W$ 는 각각 ordered basis $\beta, \gamma$ 를 가지고 있는 finite-dimensional vector space 이다. $T,U : V \rightarrow W$ 가 linear transformation 이고 $a \in F$ 에 대하여

 

$(a)$ $[T+U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma}+[U]_{\beta}^{\gamma}$

$(b)$ $[aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}$

 

증명)

$(a)$ $\beta = \{v_1,v_2,\cdots,v_n\} \,,\, \gamma = \{w_1,w_2,\cdots,w_m\}$ 이라 하자. 그럴 때 다음을 만족하는 scalar $a_{ij}, b_{ij} \,(1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n)$ 이 유일하게 존재한다.

 

$$T(v_j) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i \;,\; U(v_j) = \sum_{i=1}^{m}b_{ij}w_i$$

 

따라서 $(T+U)(v_j) = \sum_{i=1}^{m}(a_{ij}+b_{ij})w_i$ 이 성립하여 $([T+U]_{\beta}^{\gamma})_{ij} = a_{ij}+b_{ij} = ([T]_{\beta}^{\gamma}+[U]_{\beta}^{\gamma})_{ij}$ 이므로 $(a)$ 는 성립한다. 

 

$(b)$ $\beta = \{v_1,v_2,\cdots,v_n\} \,,\, \gamma = \{w_1,w_2,\cdots,w_m\}$ 이라 하자. 그럴 때 다음을 만족하는 scalar $a_{ij}\,(1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n)$ 이 유일하게 존재한다.

 

$$T(v_j) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i $$

 

따라서 $(aT)(v_j) = \sum_{i=1}^{m}aa_{ij}w_i$ 이 성립하여 $([aT]_{\beta}^{\gamma})_{ij} = aa_{ij} = a([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij}$ 이므로 $(b)$ 는 성립한다. $\blacksquare$