프리드버그 선형대수학 2.6단원 : 쌍대공간의 정의

2.6 Dual spaces

linear transformation 이 vector space $V$ 에서 field $F$ 로 가는 함수로 정의될 때 우리는 linear functional on $V$ 라고 정의한다. 

 

linear functional 의 예시

$\beta = \{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ 가 finite-dimensional vector space $V$ 의 ordered basis 라 하자. 

 

$$[x]_{\beta} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$$

 

일 때 $f_{i}(x) = a_i \,(1 \leq i \leq n)$ 으로 정의하자. 그럴 때 linear functional on $V$ 인 $f_i$ 를 ith coordinate function with respect to the basis $\beta$ 라고 정의한다. 

 

field $F$ 위에서 정의된 vector space $V$ 에 대해 $L(V,F)$ 를 dual space of $V$ 라 정의하고 $V^*$ 로 표기한다.

 

$V$ 가 finite-dimensional 이라면 프리드버그 선형대수학 2.4단원 : 가역성과 동형사상 의 Theorem 2.20 의 Corollary 에 의해 다음 관계가 성립한다.

 

$$dim(V^*) = dim(L(V,F)) = dim(V) \cdot dim(F) = dim(V)$$

 

프리드버그 선형대수학 2.4단원 : 가역성과 동형사상 의 Theorem 2.19 에 의해 $V$ 와 $V^*$ 는 isomorphic 하다는 사실도 알 수 있다. 

 

그리고 $V^*$ 의 dual space 를 $V^{**}$ 라 정의하자. 

 

Theorem 2.24

$\beta = \{x_1,x_2,\cdots,x_n \}$ 가 finite-dimensional vector space $V$ 의 ordered basis 라 하자. $f_i \, (1 \leq i \leq n)$ 은 ith coordinate function with respect to $\beta$ 이고 $\beta^* = \{f_1,f_2,\cdots,f_n\}$ 이라할 때 $\beta^*$ 는 $V^*$ 의 ordered basis 가 되고 임의의 $f \in V^*$ 에 대해 

 

$$f = \sum_{i=1}^{n}f(x_i)f_i$$

 

가 성립한다.

 

증명)

프리드버그 선형대수학 1.6단원 : 기저와 차원의 정의 의 Theorem 1.10 의 Corollary 2(a) 에 의해 $dim(V^*) = n$ 이므로 $\beta^*$ 가 $V^*$ 를 generate 함을 보이기만 하면 충분하다.

함수 $f$ 에 대하여 $g = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)f_i$ 가 성립한다고 가정하자. $1 \leq j \leq n$ 에 대하여

 

$$g(x_j) = (\sum_{i=1}^{n} f(x_i)f_i)(x_j) = \sum_{i=1}^{n}f(x_i)f_{i}(x_j) = \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\delta_{ij} = f(x_j)$$

 

$V$ 의 basis 에 대해 함숫값이 같으므로 프리드버그 선형대수학 2.1단원 : 선형변환, 영공간, 치역의 정의 의 Theorem 2.6 의 Corollary 에 의해 $g=f$ 이다. 따라서 $\beta^*$ 가 $V^*$ 를 generate 하므로 증명이 끝난다. $\blacksquare$

 

$V^*$ 의 ordered basis $\beta^* = \{f_1,f_2,\cdots,f_n\}$ 이 $1 \leq i,j \leq n$ 에 대하여 $f_i(x_j) = \delta_{ij}$ 를 만족한다면 $\beta^*$ 를 dual basis of $\beta$ 라고 정의한다.

 

Theorem 2.25

$\beta, \gamma$ 가 각각 field $F$ 위에서 정의된 finite dimensional vector space $V,W$ 의 ordered basis 이고 $T : V \rightarrow W$ 가 linear transformation 일 때 $g \in W^*$ 에 대하여 $T^t(g) = gT$ 인 함수 $T^t : W^* \rightarrow V^*$ 를 정의하면 $T^t$ 는  linear transformation 이다. 그리고 $[T^t]_{\gamma^*}^{\beta^*} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^t$ 도 만족한다.

 

증명)

$T^t$ 이 $W^*$ 에서 $V^*$ 으로 보내는 함수라는 것은 바로 보일 수 있으므로 $T^t$ 이 linear 임을 보이면 충분하다.

$\beta = \{x_1,x_2,\cdots,x_n\} \,,\, \gamma = \{y_1,y_2, \cdots, y_m\}$ 이라 하고 각각의 dual basis 를 $\beta^* = \{f_1,f_2,\cdots,f_n\} \,,\, \gamma^* = \{g_1,g_2,\cdots,g_m\}$ 이라 하자. 그리고 $A = [T]_{\beta}^{\gamma}$ 라고 표기하자. 

위의 Theorem 2.24 에 의해 

 

$$T^t(g_j) = g_jT = \sum_{s=1}^{n} (g_jT)(x_s)f_s$$

 

이렇게 표현되고 따라서 $[T^t]_{\gamma^*}^{\beta^*}$ 의 $i$ 번째 row, $j$ 번째 column 에 위치한 성분은 

$$(g_jT)(x_i) = g_j(T(x_i)) = g_j(\sum_{k=1}^{m} A_{ki}y_k) = \sum_{k=1}^{m} A_{ki} g_j(y_k) = \sum_{k=1}^{m} A_{ki}\delta_{jk} = A_{ji}$$

 

와 같다. 그러므로 $[T^t]_{\gamma^*}^{\beta^*} = A^t$ 를 만족하여 증명이 끝난다. $\blacksquare$

 

위의 Theorem 2.25 에서 정의된 linear transformation $T^t$ 는 transpose of $T$ 로 정의한다. 그리고 $[T^t]_{\gamma^*}^{\beta^*} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^t$ 이므로 $T^t$ 가 자연스레 유일하다는 사실도 알 수 있다.

 

vector space $V$ 에 속한 vector $x$ 에 대해 $\hat{x} : V^{*} \rightarrow F$ 를 임의의 $f \in V^*$ 에 대하여 $\hat{x}(f) = f(x)$ 로 정의하자. $f$ 가 linear transformation 이므로 자연스럽게 $\hat{x}$ 도 $V^*$ 에서 linear functional 임을 알 수 있다. 즉, $\hat{x} \in V^{**}$ 이므로 $x$ 와 $\hat{x}$ 사이의 일대일 대응을 찾으면 $V$ 와 $V^{**}$ 이 isomorphism 임을 보일 수 있다.

 

Lemma

vector $x$ 가 finite-dimensional vector space $V$ 에 속할 때 임의의 $f \in V^*$ 에 대하여 $\hat{x}(f)=0$ 을 만족한다면 $x=0$ 이다.

 

증명)

$x \neq 0$ 이라고 가정할 때 $x_1 = x$ 를 만족하는 $V$ 의 ordered basis $\beta = \{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ 를 잡자. 그리고 $\beta$ 의 dual basis 를 $\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}$ 이라 하면 $f_1(x_1) = 1 \neq 0$ 이므로 $\hat{x}(f) = 0$ 에 모순이다. 따라서 $x=0$ 이다. $\blacksquare$

 

Theorem 2.26

finite-dimensional vector space $V$ 에 대해 함수 $\psi : V \rightarrow V^{**}$ 을 $\psi(x) = \hat{x}$ 로 정의한다면 $\psi$ 는 isomorphism 이다.

 

증명)

$1.$ $\psi$ 가 linear 임을 보이자.

$x,y \in V \,,\, c \in F \,,\, f \in V^*$ 에 대해 

 

$$\psi(cx+y)(f) = f(cx+y) = cf(x)+f(y) = c\hat{x}(f)+\hat{y}(f) = (c\hat{x}+\hat{y})(f)$$

 

이므로 $\psi(cx+y) = c\hat{x}+\hat{y} = c\psi(x)+\psi(y)$ 이어서 $\psi$ 는 linear 이다.

 

$2.$ $\psi$ 가 one-to-one 임을 보이자.

어떤 $x \in V$ 가 존재하여 $\psi(x)$ 가 만약 $V^*$ 위에서 zero functional 이라면 모든 $f \in V^*$ 에 대하여 $\hat{x}(f)=0$ 이므로 위의 lemma 에 의해 $x=0$ 이다. 따라서 $\psi$ 가 one-to-one 이다.

 

$\psi$ 가 one-to-one 이고 $dim(V) = dim(V^{**})$ 이므로 프리드버그 선형대수학 2.1단원 : 선형변환, 영공간, 치역의 정의 의 Theorem 2.5 에 의해 $\psi$ 가 onto 이므로 isomorphism 이다. $\blacksquare$

 

Corollary

finite dimensional vector space $V$ 에 대해 dual space $V^*$ 의 모든 ordered basis 가 각각 $V$ 의 어떠한 basis 의 dual basis 이다.

 

증명)

$\beta = \{f_1,f_2,\cdots,f_n\}$ 이 $V^*$ 의 ordered basis 라 하자. 위의 Theorem 2.24 와 Theorem 2.26 에 의해 다음 조건을 만족하는 $\beta$ 의 dual basis $\{\hat{x_1},\hat{x_2},\cdots,\hat{x_n}\}$ 가 존재한다. (단, $\hat{x_i} \in V^{**}$)

 

$$\hat{x_{i}}(f_j) = f_j(x_i) = \delta_{ij}$$

 

따라서 $\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}$ 이 $\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ 의 dual basis 이다. $\blacksquare$

 

참고로 infinite-dimensional vector space 에 대해 $V \,,\,V^* \,,\, V^{**}$ 는 어떠한 두 쌍도 isomorphic 하지 않는다.