말랑말랑 수학문제 #2

<문제>

다음 적분 값을 구하여라.

 

$$\int_{0}^{\infty}x^{-\frac{3}{2}}e^{-(x+\frac{1}{x})}dx$$

 

-----풀이 스포를 주의하세요-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<풀이>

$e$ 의 지수를 잘 활용하면 이 문제를 해결할 수 있다. 지수를 보면 $x$ 와 $\frac{1}{x}$ 의 선형 관계로 표현되므로 $x=\frac{1}{t}$ 로 치환하여 새로운 관계를 얻어낼 수 있다.

 

$$\int_{0}^{\infty}x^{-\frac{3}{2}}e^{-(x+\frac{1}{x})}dx = \int_{\infty}^{0}t^{\frac{3}{2}}e^{-(t+\frac{1}{t})}\cdot(-1)t^{-2}dt = \int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-(t+\frac{1}{t})}dt$$

 

우리가 구하고 싶은 값을 $A$ 라고 하면, 위 식의 첫 번째 항과 세 번째 항을 통해 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

 

$$A = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}(x^{-\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})e^{-(x+\frac{1}{x})}dx$$

 

이 단계에서 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}} = z$ 라고 치환한다면, $dz = \frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}+x^{-\frac{3}{2}})dx$를통해 위 식을 변형시킬 수 있다.

 

$$A = \int_{0}^{\infty}e^{-(z^2+2)}dz$$

 

Lemma(가우스 적분)에 의해 $\int_{0}^{\infty}e^{-z^2}dz = \frac{\sqrt\pi}{2}$ 이므로 답은 $\frac{\sqrt\pi}{2e^2}$ 이다.  $\blacksquare$

 

 

 

 

<Lemma(가우스 적분)>

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt\pi$$

 

<Lemma 풀이>

우리가 구하고 싶은 값을 $M$ 이라 하자. 그러면 $M^2$ 을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$M^2 = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

 

이 식에서 그대로 계산을 하기엔 힘들어 '극좌표계 치환'을 적용한다. 

 

$$x=rcos\theta \quad y=rsin\theta$$

 

$dxdy = rdrd\theta$ 이므로 $M^2$ 은 다음과 같이 구해진다.

 

$$M^{2} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}drd\theta = -\pi [e^{-r^2}]_{0}^{\infty} = \pi$$

 

양수를 적분하면 양수 값이 나오므로 따라서 $M = \sqrt\pi$ 가 된다.

실제로 $e^{-x^2}$ 은 $x = 0$ 을 기준으로 대칭인 함수이므로 $\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt\pi}{2}$ 이라는 결과도 자연스레 얻을 수 있다.  $\blacksquare$