말랑말랑 수학문제 #20

<문제>

길이가 $1$ 인 막대를 세등분 할 때 나눠진 $3$ 개의 막대가 삼각형을 만들 수 있을 확률을 구하여라. 

 

-----풀이 스포를 주의하세요-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<풀이>

문제를 단순화하기 위해 $[0,1]$ 구간에 속한 두 실수 $x, y$ 를 생각하자. 두 실수에 의해 $[0,1]$ 은 세등분이 되고 문제의 $3$ 등분된 막대와 동일한 이야기를 할 수 있다.

만약 $x < y$ 라면 세 막대의 길이는 $x, y-x, 1-y$ 로 결정될 것이다. 이 세 길이가 삼각형을 이루려면 다음과 같은 조건이 만족되어야 한다.

 

$$x + y-x > 1-y$$

$$x + 1-y > y-x$$

$$1-y + y-x > x$$

 

저 식들을 정리하면 $y> \frac{1}{2}\,,\, y<x-\frac{1}{2} \,,\, x < \frac{1}{2}$ 을 얻게 된다.

마찬가지로 동일하게 $x > y$ 라면 $x> \frac{1}{2}\,,\, x<y-\frac{1}{2}\,,\, y< \frac{1}{2}$ 을 얻게 된다.

 

$0 \leq x,y \leq 1$ 이기 때문에 전체영역은 길이가 $1$ 인 정사각형이 되고 위에서 정리한 조건들을 색칠해보면 아래 그림처럼 그려진다.

 

 

색칠된 영역은 전체 영역의 $\frac{1}{4}$ 을 차지해서 확률은 $\frac{1}{4}$ 이 된다.

답) $\frac{1}{4}$