수학쟁이의 공부 이야기

Infinite series of functions Infinite series $S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 는 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ 의 극한으로 정의된다. 따라서 infinite series 가 converges 하다는 것은 $S$ 가 유한한 수일 때 $\lim_{N \rightarrow \infty} S_N = S$ 을 만족하는 것이다. 수학적으로 정의하면 아래 식과 같다. $$ \forall \, \epsilon >0 \; \exists \, n \in \mathbf{N} \; s.t. \; N \geq n \, \Rightarrow \, |S_N - S| < \epsilon$$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges 하면..

Continuous and differentiable functions '$x$ 가 $a$ 로 접근할 때 $f(x)$ 는 $L$ 로 수렴한다'의 수학적 정의 임의의 양수 $\epsilon$ 에 대해 $0 0$ 가 존재하면 '$x$ 가 $a$ 로 접근할 때 $f(x)$ 는 $L$ 로 수렴한다' ($L = f(a)$ 라면 $f$ 는 $a$ 에서 연속이다.) Intermediate Value Theorem $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f(a) < p < f(b)$ 인 실수 $p$ 에 대해 $\exists \space c \in [a,b] \space$ $..

1.1 What is a partial differential equation? PDE란 무엇인가? PDE(partial differential equation)는 independent variables $x,y,...$ 들과 dependent variables $u(x,y,..)$ 들과 $u$ 의 partial derivatives(편미분)들로 이뤄진 항등식으로 정의한다. 따라서 아래와 같은 $$F(x,y,u(x,y),u_x(x,y),u_y(x,y))=0$$ 식들을 PDE라고 할 수 있다. PDE의 order는 무엇인가? PDE에서 order는 equation에 나타나는 highest derivative로 정의한다. 따라서 위의 식은 order가 1이라고 할 수 있다. "Linearity"란 무엇인가?..