수학쟁이의 공부 이야기

평면 위의 유한개의 점들의 집합 $S$ 의 임의의 서로 다른 두 점 $A, B$ 에 대하여 $AC = BC$ 가 되도록 하는 $S$ 의 점 $C$ 가 존재하면, $S$ 를 평행적이라 하자. $S$ 의 어떤 서로 다른 세 점 $A, B, C$ 에 대해서도 $PA = PB = PC$ 가 되도록 하는 $S$ 의 점 $P$ 가 존재하지 않으면, $S$ 를 비중심적이라 하자. (a) 임의의 자연수 $n \geq 3$ 에 대하여 $n$ 개의 점으로 이루어진 평행적인 집합이 존재함을 보여라. (b) $n$ 개의 점으로 이뤄진 평행적이고 비중심적인 집합이 존재하게 되는 자연수 $n \geq 3$ 을 모두 구하여라. -----풀이 스포를 주의하세요----- (a) 아무래도 이등변 삼각형이 되는 점을 찾는 것이다 보니 정..

어떤 대회에 $m$ 명의 후보자와 $n$ 명의 심사위원이 존재한다. (단, $n \geq 3$ 은 홀수) 각 후보자들은 각각의 심사위원들한테 '합격' 혹은 '불합격' 판정을 받는데, 어떤 두 심사위원의 판정도 많아야 $k$ 명의 후보자들에 대하여 일치한다고 할 때 $$\frac{k}{m} \geq \frac{n-1}{2n}$$ 이 성립함을 보여라. -----풀이 스포를 주의하세요----- 이 문제도 '더블카운팅'을 활용하여 문제를 풀어볼 것이다. $m$ 명의 후보자들을 $\{ a_1, a_2, \cdots, a_m\}$ 이라고 하고 $n$ 명의 심사위원들을 $\{ b_1, b_2, \cdots, b_n\}$ 이라고 정의할 때 다음과 같은 집합의 수를 두 가지 방법으로 세어보자. $$\{(b_i, b_j)..

$40$ 명의 출제위원단이 시험 문제를 출제하기 위해 모여있다. 출제를 위한 후보 문제들이 총 $30$ 개가 존재하고, 각 심사위원들은 정확하게 $30$ 문제 중 $26$ 문제를 풀었다. (단, 임의의 두 출제위원이 푼 문제 집단은 동일하지 않다) 출제위원단이 문제를 출제할 때 출제기준이 '출제위원단 절반 이상이 풀었고, 모든 출제위원이 풀지 않아야 한다'일 때 $40$ 명의 출제위원단은 $30$ 개의 문제 중 적어도 한 문제를 출제할 수 있음을 보여라. -----풀이 스포를 주의하세요----- 이 문제도 '더블카운팅'의 개념을 사용하면 풀 수 있다. 출제위원단이 푼 총문제의 수는 $40 \times 26 = 1040$ 이다. 이 값을 문제를 기준으로 카운팅을 해보겠다. $40$ 명이 모두 푼 문제의 수..

앞으로 개인적으로 재미있게 생각했던 수학 문제들을 공유할 생각입니다. elementary 한 방법론을 가지고 풀 수 있는 문제들을 위주로 다룰 것이기에 재밌게 봐주셨으면 좋겠습니다!! $n \times n$ 의 격자판에 $1$ 부터 $n$ 까지의 숫자를 $n$ 개씩 임의의 방식으로 써놓았다. 이때, 적어도 서로 다른 $ \sqrt n$ 개 이상의 수를 가지고 있는 행 또는 열이 존재함을 보여라. $1$ $1$ $1$ $5$ $5$ $1$ $1$ $5$ $5$ $5$ $3$ $2$ $2$ $2$ $4$ $3$ $3$ $2$ $4$ $4$ $3$ $3$ $2$ $4$ $4$ 예를 들어, 다음과 같은 $5 \times 5$ 의 격자에는 $3$ 개의 서로 다른 숫자를 가지고 있는 행 또는 열이 존재한다. ---..