수학쟁이의 공부 이야기

2.7 Homogeneous linear differential equations with constant coefficients 다음 그림처럼 용수철에 질량이 $m$ 인 물체가 달려있고 처음 물체를 $y$ 축 음의 방향으로 $s$ 만큼 당겼다고 가정하자. $(y(0) = -s)$ 시간의 따른 물체의 위치를 $y(t)$ 라고 정의한다면 Newton's law 에 의해 물체에 작용하는 알짜힘 $F(t)$ 는 다음과 같다. $$F(t) = my''(t)$$ 또한, 초기 물체가 매달려 있기 전 용수철 아래 끝 부분의 $y$ 좌표를 $d$ 라 정의하면 물체에 작용하는 알짜힘 $F(t)$ 는 Hooke's law 에 의해 다음과 같다. $$F(t) = k(d-y(t)) - mg$$ 평형상태 일 때 알짜힘이 $0$..

2.6 Dual spaces linear transformation 이 vector space $V$ 에서 field $F$ 로 가는 함수로 정의될 때 우리는 linear functional on $V$ 라고 정의한다. linear functional 의 예시 $\beta = \{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ 가 finite-dimensional vector space $V$ 의 ordered basis 라 하자. $$[x]_{\beta} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$$ 일 때 $f_{i}(x) = a_i \,(1 \leq i \leq n)$ 으로 정의하자. 그럴 때 linear functional on $V$ 인 $..

2.5 The change of coordinate matrix $2x^2-4xy+5y^2=1$ 의 방정식을 그대로 분석하는 것보다 $x = \frac{2}{\sqrt{5}}x' - \frac{1}{\sqrt{5}}y' \,,\, y = \frac{1}{\sqrt{5}}x' + \frac{2}{\sqrt{5}}y'$ 로 치환하여 $(x')^2+6(y')^2 = 1$ 로 정리되고 타원 모양이라는 것도 쉽게 알 수 있듯이 좌표계를 변환시킬 때 좋아지는 경우가 많다. $\beta$ 가 $xy$ 좌표계의 standard ordered basis 라 할 때 $x'y'$ 좌표계의 standard ordered basis 는 $xy$ 좌표계로 $$\beta' = \left\{\frac{1}{\sqrt{5}} \beg..

2.4 Invertibility and isomorphisms $V,W$ 가 vector space 이고 함수 $T : V \rightarrow W$ 가 linear 일 때 함수 $U : W \rightarrow V$ 가 $TU = I_W \,,\, UT = I_V$ 를 만족하면 $U$ 를 inverse of $T$ 라 정의한다. 만약 $T$ 가 inverse 를 가지고 있으면 invertible 하다고 정의하고 invertible 하면 inverse of $T$ 는 $T^{-1}$ 로 유일하다. invertible functions $U,T$ 에 대해 다음과 같은 간단한 성질들이 성립한다. $1.$ $(TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}$ $2.$ $(T^{-1})^{-1} = T$ ($T^-1..

2.3 Composition of linear transformations and matrix multiplication 두 linear transformation 의 합성 $U \circ T$ 를 편의상 $UT$ 로 표기하겠다. Theorem 2.9 $V,W,Z$ 가 field $F$ 위에서 정의된 vector space 이며 함수 $T : V \rightarrow W\,,\, U : W \rightarrow Z$ 가 linear 일 때 $UT : V \rightarrow Z$ 가 linear 이다. 증명) $x,y \in V \,,\, a\in F$ 에 대해 $$UT(ax+y) = U(T(ax+y)) = U(aT(x)+T(y)) = aU(T(x))+U(T(y)) = a(UT)(x)+UT(y)$$ 이므..

2.2 The matrix representation of a linear transformation $V$ 가 finite-dimensional vector space 일 때 ordered basis for $V$ 는 $V$ 의 basis 가 순서와 함께 고려되는 것을 말한다. 예를 들어 $\beta = \{e_1,e_2,e_3\}$ 와 $\gamma = \{e_2,e_1,e_3\}$ 둘 다 $F^3$ 의 basis 이지만 ordered basis 관점에선 $\beta \neq \gamma$ 이다. $F^n$ 에 대하여 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ 은 standard ordered basis for $F^n$ 이라 하고 $P_n(F)$ 에 대하여 $\{1,x,x^2,\cdots,x^n\..

2.1 Linear transformations, null spaces, and ranges field $F$ 위에서 정의된 vector space $V,W$ 에 대해 함수 $T : V \rightarrow W$ 가 모든 $x,y \in V \,,\,$ $c \in F$ 에 대하여 $(a) \, T(x+y) = T(x) + T(y)$ $(b) \, T(cx) = cT(x)$ 다음의 조건을 만족한다면 $T$ 를 linear transformation from $V$ to $W$ 라 정의한다. field $F$ 가 유리수 집합인 경우 위의 $(a)$ 조건이 $(b)$ 조건을 포함하게 되지만 일반적인 경우 $(a)$ 와 $(b)$ 는 독립적이다. 예시를 살펴보면 다음과 같다. $1.$ $(a)$ 조건이 $(b..

1.7 Maximal linearly independent subsets 집합 $F$ 가 집합들의 집합이라고 할 때 $M \in F$ 에 대해 $M$ 자신을 제외하고 어떠한 $F$ 의 원소도 $M$ 을 포함하지 않는다면 $M$ 을 maximal 이라고 정의하자. Maximal 의 예시 $1.$ nonempty set $S$ 의 모든 부분집합들의 집합을 $F$ 라고 하자. ($F$ 는 $S$ 의 power set 이라한다.) 그러면 $S$ 는 $F$ 의 maximal element 이다. $2.$ $S$ 와 $T$ 는 nonempty set 이고 서로소(disjoint)이다. $F$ 는 $S$ 의 power set 과 $T$ 의 power set 의 합집합일 때 $S$ 와 $T$ 는 둘 다 $F$ 의 ma..

1.6 Bases and dimension vector space $V$ 의 linearly independent 부분집합들 중 $span(\beta) = V$ 가 성립하는 $\beta \subset V$ 가 존재하면 $\beta$ 를 basis 라고 한다. Basis의 예시 $1.$ $span(\emptyset) = \{0\}$ 이고 $\emptyset$ 은 linearly independent 하므로 $\emptyset$ 은 zero vector space의 basis이다. $2.$ $e_1 = (1,0,\cdots,0),\; e_2 = (0,1,0,\cdots,0),\; \cdots \;e_n = (0,0,\cdots,0,1)$ 은 $F^n$ 의 basis이고 우리는 더 자세하게 standard b..

트럼프 카드 $52$ 장을 한 장씩 뽑을 때 에이스가 나오기 전까지 뽑아야 하는 카드의 수의 기댓값을 구하여라. (단, 한 번 뽑은 카드는 다시 올려 놓지 않는다.) -----풀이 스포를 주의하세요----- 전체 $52$ 장 중 에이스가 총 $4$ 장 있으므로 남은 $48$ 장에 대하여 다음과 같은 확률변수 $X_i \,(1\leq i \leq 48)$ 를 생각하자. $X_i=1$ : $i$ 번째 카드가 모든 에이스들 보다 앞에 있는 경우 $X_i=0$ : 그 외의 경우 이렇게 정의를 하게 되면 에이스가 나오기 전까지 뽑아야 하는 카드의 수 $X$ 는 $$X = X_1+X_2+\cdots+X_48$$ 로 표현된다. 우리는 $X$ 의 기댓값을 구해야하는데 $E[X] = E[X_1]+E[X_2]+\cdots..