프리드버그 선형대수학 2.7단원 : 계수가 상수인 동차 선형미분방정식

2.7 Homogeneous linear differential equations with constant coefficients

다음 그림처럼 용수철에 질량이 $m$ 인 물체가 달려있고 처음 물체를 $y$ 축 음의 방향으로 $s$ 만큼 당겼다고 가정하자. $(y(0) = -s)$

시간의 따른 물체의 위치를 $y(t)$ 라고 정의한다면 Newton's law 에 의해 물체에 작용하는 알짜힘 $F(t)$ 는 다음과 같다.

 

$$F(t) = my''(t)$$

 

또한, 초기 물체가 매달려 있기 전 용수철 아래 끝 부분의 $y$ 좌표를 $d$ 라 정의하면 물체에 작용하는 알짜힘 $F(t)$ 는 Hooke's law 에 의해 다음과 같다.

 

$$F(t) = k(d-y(t)) - mg$$

 

평형상태 일 때 알짜힘이 $0$ 이므로 $kd = mg$ 이므로 따라서

 

$$y''+\frac{k}{m}y=0$$

 

을 만족한다. 따라서 보통 평형상태부터의 거리를 통해 Hooke's law 를 적용한다.

 

방금과 같은 식을 differential equation 이라 하는데 일반적인 정의는 다음과 같다.

 

$$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y^{(1)}+a_0y = f$$

 

이렇게 $y$ 와 $y$ 의 derivative 들이 linear 하게 합해져 있는 경우 linear differential equation 이라 하고 $f$ 가 항등적으로 $0$ 인 경우에는 homogeneous linear differential equation 이라고 한다.

 

그리고 다항식의 경우와 유사하게 coefficient(계수) $a_n$ 이 $0$ 이 아닌 경우 order 가 $n$ 이라고 한다. 

 

$C$ 가 복소수 집합일 때 함수 $x \in F(R,C)$ 가 real part $x_1$ 와 imaginary part $x_2$ 로 표현된다고 하자. 그러면 $x$ 가 differentiable 이다와 $x_1,x_2$ 가 differentiable 이다가 필요충분조건이다. 그리고

 

$$x' = x_1'+ix_2'$$

 

로 표현된다. 

 

Theorem 2.27

계수가 상수인 homogeneous linear differential equation 들의 어떠한 해도 모든 차수의 derivative 를 가진다. 즉, 임의의 자연수 $k$ 에 대해 $x^{(k)}$ 가 존재한다.

 

증명)

원래의 식을 계속 미분해 주면 쉽게 보일 수 있다. $\blacksquare$

 

$F(R,C)$ 에 속한 모든 차수의 $derivative$ 를 가지고 있는 함수들의 집합을 $C^{\infty}$ 로 정의한다. 

 

$C^{\infty}$ 는 $F(R,C)$ 의 subspace 이므로 field $C$ 위에서 vector space 이다. $x \in C^{\infty}$ 에 대해 $x'$ 도 $C^{\infty}$ 에 속하므로 $D : C^{\infty} \rightarrow C^{\infty}$ 

 

$$D(x) = x'$$

 

는 linear operator 가 된다. 일반적으로 $C$ 위에서 정의된 다항식 $p(t)= a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1t+a_0$ 에 대해

 

$$p(D) = a_nD^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_1D+a_0I$$

 

로 정의하면 $p(D)$ 도 linear operator 가 된다.

 

$C$ 위에서 정의된 양의 차수를 가지는 다항식 $p(t)$ 에 대해 $p(D)$ 는 differential operator 라고 부르고 $p(D)$ 의 order 는 다항식 $p(t)$ 의 차수가 된다.

 

일반적인 homogeneous linear differential equation 

$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y^{(1)}+a_0y=0$$

 

을 differential operator 를 사용하여 다시 적어보면

 

$$(D^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_1D+a_0I)(y) = 0$$

 

으로 적을 수 있다. 이러한 differential equation 의 auxiliary polynomial 을 다음과 같이 정의한다.

 

$$p(t) = t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1t+a_0$$

 

Theorem 2.28

계수가 상수인 homogeneous linear differential equation 들의 모든 해를 모아놓은 집합은 $p(t)$ 가 auxiliary polynomial 일 때 $p(D)$ 의 null space 와 동일하다. 

 

Corollary

계수가 상수인 homogeneous linear differential equation 들의 모든 해를 모아놓은 집합은 $C^{\infty}$ 의 subspace 이다.

 

$c$ 가 실수인 경우 $e^c$ 는 자연스레 잘 정의되지만 $c = a+ib$ 가 복소수일 때 $e^c$ 는 Euler's formula 에 의해 다음과 같이 정의된다.

 

$$e^c = e^a(cosb+isinb)$$

 

그러면 실수의 경우처럼 미분을 하였을 때 다음의 정리가 성립한다.

 

Theorem 2.29

임의의 exponential function $f(t) = e^{ct}$ 에 대해 $f'(t) = ce^{ct}$ 이다.

 

증명)

$c = a+ib$ 라 하면 $e^{ct} = e^{at}cos(bt) + i(e^{at}sin(bt))$ 이 성립한다. 따라서 미분을 하게 되면

 

$$f'(t) = ae^{at}cos(bt) + e^{at}(-b)sin(bt)+i(ae^{at}sin(bt)+e^{at}bcos(bt)) = ae^{at}e^{ibt}+be^{at}(-sin(bt)+icos(bt)) = ae^{ct}+ibe^{at}e^{ibt} = ce^{ct}$$

 

이므로 성립한다. $\blacksquare$

 

Theorem 2.30

$y'+a_0y=0$ 의 solution space 의 dimension 이 $1$ 이고 $\{e^{-a_0t}\}$ 를 basis 로 가진다.

 

증명)

$e^{-a_0t}$ 를 대입하면 $y'+ay=0$ 이 성립함은 자연스럽게 보일 수 있다. 만약 다른 해 $x(t)$ 가 존재한다면 

 

$$z(t) = e^{a_0t}x(t)$$

 

로 정의하자. 이때 $z'(t)$ 를 구하면

 

$$z'(t) = a_0e^{a_0t}x(t)+e^{a_0t}x'(t) = e^{a_0t}(a_0x(t)+x'(t)) = 0$$

 

이므로 $z$ 는 상수함수가 된다. 어떤 복소수 $k \in C$ 가 존재하여 $x(t) = ke^{-a_0t}$ 가 된다. $\blacksquare$

 

Corollary

임의의 복소수 $c$ 에 대하여 differential operator $D-cI$ 의 null space 는 $\{e^{ct}\}$ 를 basis 로 가진다.

 

이제 차수가 1을 넘어선 $n$ 인 경우에 일반적으로 생각하면 auxiliary polynomial 은 다음과 같이 표현된다.

 

$$p(t) = t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1t+a_0$$

 

$p(t)$ 의 $n$ 개의 근을 $c_1,c_2,\cdots,c_n \in C$ 이라 하면

 

$$p(t) = (t-c_1)(t-c_2)\cdots(t-c_n) \,,\, p(D) = (D-c_1I)(D-c_2I)\cdots(D-c_nI)$$

 

을 얻을 수 있고 $D-c_iI$ operator 들은 commutative 하므로 모든 $i$ 에 대해

 

$$N(D-c_iI) \subseteq N(p(D))$$

 

가 성립한다.

 

Theorem 2.31

homogeneous linear differential equation 의 auxiliary polynomial 을 $p(t)$ 라 할 때 임의의 $p(t)$ 의 근 $c \in C$ 에 대해 $e^{ct}$ 가 differential equation 의 해가 된다.

 

Theorem 2.32

차수 $n$ 인 differential operator $p(D)$ 에 대해 $p(D)$ 의 null space 는 $C^{\infty}$ 의 n-dimensional subspace 이다.

 

증명)

Lemma 1

임의의 복소수 $c$ 에 대해 differential operator $D-cI : C^{\infty} \rightarrow C^{\infty}$ 이 onto 이다.

 

lemma 증명)

임의의 $v \in C^{\infty}$ 에 대해 $w(t) = v(t)e^{-ct}$ 라 정의하자. $v \,,\, e^{-ct}$ 둘 다 $C^{\infty}$ 에 속하므로 $w \in C^{\infty}$ 이다. $w = w_1+iw_2$ 라 하면 $w_1,w_2$ 는 differentiable 하므로 각각 antiderivative 들이 존재하여 $W_1,W_2$ 라 하자. (즉, W_i 를 미분하면 w_i 가 된다.)

$W = W_1+iW_2$ 라 하면 함수 $u : R \rightarrow C$ 를 $u(t) = W(t)e^{ct}$ 라 정의하자. 그러면

 

$$(D-cI)u(t) = W'(t)e^{ct}+W(t)ce^{ct}-cW(t)e^{ct} = w(t)e^{ct} = v(t)$$

 

가 성립하여 onto 임을 보일 수 있다. $\blacksquare$

 

Lemma 2

$T,U$ 가 vector space $V$ 의 linear operator 이고 $U$ 는 onto 이며 $T,U$ 의 null-space 가 finite-dimensional 일 때 $TU$ 의 null space 는 finite-dimensional 이다. 또한,

 

$$dim(N(TU)) = dim(N(T)) + dim(N(U))$$

 

lemma 증명)

$dim(N(T)) = p \,,\, dim(N(U)) = q$ 라 하고 $\{u_1,u_2,\cdots,u_p\}$ 와 $\{v_1,v_2,\cdots,v_q\}$ 가 각각 $N(T),N(U)$ 의 basis 라고 가정하자. $U$ 가 onto 이므로 각각의 $i(1 \leq i \leq p)$ 에 대해 $U(w_i)=u_i$ 인 $w_i \in V$ 가 존재한다. 만약 어떤 $i,j$ 가 존재하여 $w_i = v_j$ 라면 $u_i = U(w_i) = U(v_j) = 0$ 이어서 모순이다. $w_i$ 들끼리 서로 다르고, $v_j$ 들끼리 서로 다르므로 

 

$$\beta = \{w_1,w_2,\cdots,w_p,v_1,v_2,\cdots,v_q\}$$

 

은 $p+q$ 개의 서로 다른 vector 들을 가지고 있다. $\beta$ 가 $N(TU)$ 의 basis 임을 보이면 문제를 증명할 수 있게 된다. 

앞의 정의들에 의해 $TU(w_i) = T(u_i) = 0 \,,\, TU(v_j) = T(0)=0$ 이므로 $\beta \subseteq N(TU)$ 이다. 만약 $v \in N(TU)$ 라면, $0 = T(U(v))$ 이므로 $U(v) \in N(T)$ 이다. 그러므로 scalar $a_1,a_2,\cdots,a_p$ 가 존재하여

 

$$U(v) = a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_pu_p = a_1U(w_1)+\cdots+a_pU(w_p) = U(a_1w_1+\cdots+a_pw_p)$$

 

이다. 따라서 $U(v-(a_1w_1+a_2w_2+\cdots+a_pw_p)) = 0$ 이므로 $v-(a_1w_1+a_2w_2+\cdots+a_pw_p) \in N(U)$ 가 성립한다. 그리하여 scalar $b_1,b_2,\cdots,b_q$ 가 존재해서

 

$$v = a_1w_1+a_2w_2+\cdots+a_pw_p+b_1v_1+b_2v_2+\cdots+b_qw_q$$

 

가 성립한다. 따라서 $\beta$ 는 $N(TU)$ 를 span 한다.

이제 $\beta$ 가 linear independent 함을 보이면 충분하다. 만약 어떤 scalar $a_1,a_2,\cdots,a_p,b_1,b_2,\cdots,b_q$ 가 존재하여

 

$$a_1w_1+a_2w_2+\cdots+a_pw_p+b_1v_1+b_2v_2+\cdots+b_qw_q=0$$

 

을 만족한다고 가정하자. 바로 위 식 양변에 $U$ 를 취해주면 $a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_pu_p=0$ 을 얻게 되고 $\{u_1,u_2,\cdots,u_p\}$ 가 linearly independent 하므로 $a_i$ 들은 모두 $0$ 임을 알 수 있다. 그러면

 

$$b_1v_1+b_2v_2+\cdots+b_qw_q=0$$

 

을 얻게 되는데 마찬가지로 $\{w_1,w_2,\cdots,w_q\}$ 가 linearly independent 하므로 $b_j$ 들도 모두 $0$ 이 된다. 따라서 $\beta$ 가 $N(TU)$ 의 basis 이므로 lemma2 가 증명된다. $\blacksquare$

 

Theorem 2.32 증명)

differential operator $p(D)$ 의 order 에 대해 수학적 귀납법을 적용하자. order 가 $1$ 인 경우는 위의 Theorem 2.30 의 경우와 동일하고 $n>1$ 인 자연수 $n$ 에 대해 Theorem 2.32 가 $n$ 보다 작은 order 들에 대해 모두 성립한다고 가정하자. $p(D)$ 가 order 가 $n$ 인 differential operator 라면 복소수 $c$ 에 대해

 

$$p(t) = q(t)(t-c)$$

 

이렇게 적을 수 있다. differential operator 형태로 바꿔주면 $p(D) = q(D)(D-cI)$ 로 변환되고 위의 Lemma 1 에 의해 $D-cI$ 는 onto 이며, 위의 Theorem 2.30 에 의해 $dim(N(D-cI)) = 1$ 이고, 수학적 귀납법 가정에 의해 $dim(N(q(D))) = n-1$ 이므로 위의 Lemma 2  에 의해

 

$$dim(N(p(D))) = dim(N(q(D)))+dim(N(D-cI)) = n-1+1=n$$

 

이므로 증명이 되었다. $\blacksquare$

 

Corollary

상수 계수를 가지는 n-th order homogeneous linear differential equation 의 solution space 는 n-dimensional subspace of $C^{\infty}$ 이다.

 

Theorem 2.33

서로 다른 $n$ 개의 복소수들 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 에 대해 $\{e^{c_1t},e^{c_2t},\cdots,e^{c_nt}\}$ 가 linearly independent 하다.

 

증명)

귀류법을 사용하자. 어떤 scalar 들 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 이 존재하여

 

$$b_1e^{c_1t}+b_2e^{c_2t}+\cdots+b_ne^{c_nt} = 0$$

 

가 성립한다고 하자. Theorem 2.33 의 명제에 수학적 귀납법을 적용해 보면 $n=1$ 일 때 자연스럽게 linearly independent 함을 보일 수 있다. 따라서 $n>1$ 인 자연수 $n$ 에 대해 $n$ 보다 작은 개수의 $e^{ct}$ 들은 linearly independent 하다고 가정하자.

위 식의 양변에 $D-c_nI$ 를 취해주면

 

$$0 = (D-c_nI)(b_1e^{c_1t}+b_2e^{c_2t}+\cdots+b_ne^{c_nt}) = b_1c_1e^{c_1t}+\cdots+b_nc_ne^{c_nt} - b_1c_ne^{c_1t}-\cdots-b_nc_ne^{c_nt} = (b_1c_1-b_1c_n)e^{c_1t}+\cdots+(b_{n-1}c_{n-1}-b_{n-1}c_{n})e^{c_{n-1}t}$$

 

가 성립한다. 수학적 귀납법의 가정에 의해 $b_i(c_i-c_n)=0$ 이 성립한다. $c_i$ 들은 서로 다른 복소수들이므로 $b_i=0$ 일 수밖에 없다. 따라서 증명이 완료된다. $\blacksquare$

 

Corollary

상수 계수를 가지는 nth-order homogeneous linear differential equation 의 auxiliary polynomial 이 $n$ 개의 서로 다른 근 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 을 가진다면 $\{e^{c_1t},\cdots,e^{c_nt}\}$ 는 differential equation 의 solution space 의 basis 이다.

 

증명)

위의 Theroem 2.33 에 의해 자연스럽게 성립한다.

 

auxiliary polynomial 이 중근을 가지는 경우 아래의 lemma 를 통해서 solution space 의 basis 를 구할 수 있다. 

 

Lemma

자연수 $n$ 과 복소수 $c$ 에 대해 $(t-c)^n$ 이 상수 계수를 가지는 homogeneous linear differential equation 의 auxiliary polynomial 이라면

 

$$\beta = \{e^{ct}, te^{ct}, \cdots, t^{n-1}e^{ct}\}$$

 

는 solution space 의 basis 가 된다.

 

증명)

solution space 가 n-dimensional 이므로 $\beta$ 가 linearly independent 함을 보이면 충분하다. 임의의 자연수 $k$ 에 대해 

$$(D-cI)(t^ke^{ct}) = kt^{k-1}e^{ct}+ct^ke^{ct}-ct^ke^{ct} = kt^{k-1}e^{ct}$$

 

이므로 $k < n$ 에 대해 

 

$$(D-cI)^n(t^ke^{ct}) = 0$$

 

이 성립한다. 따라서 $\beta$ 는 solution space 의 subset 이다.

scalar $b_0,b_1,\cdots,b_{n-1}$ 이 존재하여 

 

$$b_0e^{ct}+b_1te^{ct}+\cdots+b_{n-1}e^{ct} = 0$$

 

을 만족한다고 하자. 양변을 $e^{ct}$ 로 나눠주면

 

$$b_0+b_1t+\cdots+b_nt^n=0$$

 

을 얻게 되고 임의의 $t$ 에 대해 위 식이 성립해야 하여 $b_i$ 들은 모두 $0$ 이다. 따라서 $\beta$ 가 linearly independent 하므로 증명이 완료된다. $\blacksquare$

 

Theorem 2.34

상수 계수를 가지는 homogeneous linear differential equation 의 auxiliary polynomial 이 자연수 $n_1,n_2,\cdots,n_k$ 와 서로 다른 복소수 $c_1,c_2,\cdots,c_k$ 에 대하여 

 

$$(t-c_1)^{n_1}(t-c_2)^{n_2}\cdots(t-c_k)^{n_k}$$

 

로 표현될 때 다음의 집합이 solution space 의 basis 가 된다.

 

$$\{e^{c_1t}, te^{c_1t},\cdots,t^{n_1-1}e^{c_1t},\cdots,e^{c_kt},\cdots,t^{n_k-1}e^{c_kt}\}$$