수학쟁이의 공부 이야기

트럼프 카드 $52$ 장을 한 장씩 뽑을 때 에이스가 나오기 전까지 뽑아야 하는 카드의 수의 기댓값을 구하여라. (단, 한 번 뽑은 카드는 다시 올려 놓지 않는다.) -----풀이 스포를 주의하세요----- 전체 $52$ 장 중 에이스가 총 $4$ 장 있으므로 남은 $48$ 장에 대하여 다음과 같은 확률변수 $X_i \,(1\leq i \leq 48)$ 를 생각하자. $X_i=1$ : $i$ 번째 카드가 모든 에이스들 보다 앞에 있는 경우 $X_i=0$ : 그 외의 경우 이렇게 정의를 하게 되면 에이스가 나오기 전까지 뽑아야 하는 카드의 수 $X$ 는 $$X = X_1+X_2+\cdots+X_48$$ 로 표현된다. 우리는 $X$ 의 기댓값을 구해야하는데 $E[X] = E[X_1]+E[X_2]+\cdots..

가방 안에 $2$ 개의 빨간 공과 $2$ 개의 파란 공이 들어있다. 가방에서 공을 하나씩 꺼낼 때 색깔을 제대로 예측하면 $1$ 달러를 받는 게임을 진행할 때 당신은 이 게임 참가비용을 얼마까지 지불할 의향이 있는가? (단, 공은 한 번 꺼내면 다시 넣지 않는다.) -----풀이 스포를 주의하세요----- 결국 이 게임을 진행할 때 얼마만큼의 돈을 받을 수 있는지 기댓값을 계산하면 되는 문제이다. $1.$ 처음 공을 꺼내는 경우 공이 각각 $2$ 개씩 존재하므로 공의 색깔을 맞출 확률은 $\frac{1}{2}$ 가 된다. 따라서 처음 공을 꺼내는 경우 받을 수 있는 돈의 기댓값은 $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ 달러이다. $2.$ 두 번째, 세 번째 공을 꺼내는 경우 처..

현재 $5$ 명의 해적이 $100$ 개의 금덩이를 투표를 통하여 나눠가지려고 한다. 가장 경력이 오래된 해적부터 차례로 어떻게 금덩이를 배분할지 공약을 제시하는데, 공약에 대한 찬성률이 $50%$ 미만이 되면 공약을 제시한 해적은 죽는다. 그리고 살아있는 해적 중 가장 경력이 오래된 해적이 다시 공약을 제시하는 흐름으로 진행이 된다. 그럴 때 어떻게 금덩이가 배분될지 판단하여 보아라. (단, 해적의 경력은 다 다르다) -----풀이 스포를 주의하세요----- 해적이 $2$ 명인 간단한 경우부터 생각해 보자. 경력이 높은 순서대로 $A, B$ 라고 한다면 $A$ 는 $A : 100 \,,\, B : 0$ 이렇게 공약을 제시하고 본인이 찬성하면 무조건 통과되므로 $A$ 한테 $100$ 개, $B$ 한테 $0..

길이가 $1$ 인 막대를 세등분 할 때 나눠진 $3$ 개의 막대가 삼각형을 만들 수 있을 확률을 구하여라. -----풀이 스포를 주의하세요----- 문제를 단순화하기 위해 $[0,1]$ 구간에 속한 두 실수 $x, y$ 를 생각하자. 두 실수에 의해 $[0,1]$ 은 세등분이 되고 문제의 $3$ 등분된 막대와 동일한 이야기를 할 수 있다. 만약 $x 1-y$$ $$x + 1-y > y-x$$ $$1-y + y-x > x$$ 저 식들을 정리하면 $y> \frac{1}{2}\,,\, y y$ 라면 $x> \frac{1}{2}\,,\, x

선수 두 명이 테니스 경기를 $3$ 경기 진행한다고 가정하자. 그렇다면 테니스 경기가 $2$ 경기만에 끝나는 것에 베팅하는 것이 유리한지 $3$ 경기만에 끝나는 것에 베팅하는 것이 유리한지 판단해 보아라. -----풀이 스포를 주의하세요----- 두 선수를 $A$, $B$ 라고 하자. 우리는 $A$ 와 $B$ 의 실력을 알 수 없으므로 $A$ 가 $B$ 를 이길 확률을 $p$ 라 하자. 그럼 반대로 $B$ 가 $A$ 를 이길 확률은 $q$ 라고 하자. 테니스 경기가 $2$ 경기만에 끝나려면 $2$ 번 모두 같은 사람이 이겨야 하므로 $2$ 경기만에 끝날 확률은 $p^2+q^2$ 이다. 반면 $3$ 경기만에 끝나려면 처음 $2$ 경기에서 한 명씩 번갈아 승리해야 하므로 $3$ 경기만에 끝날 확률은 $2pq..

앞, 뒤가 나올 확률이 동일한 동전을 던진다고 하자. 임의의 자연수 $n$ 에 대해 앞면이 $n$ 번 연속으로 나오기 위해 필요한 동전 던지기 횟수의 기댓값을 구하여라. -----풀이 스포를 주의하세요----- 우리는 앞면을 $H$, 뒷면을 $T$ 라고 하자. 그리고 $H$ 가 연속으로 $n$ 번 나오기 위해 필요한 동전 던지기 횟수의 기댓값을 $E_n$ 이라고 하자. $1.$ 처음 $T$ 가 나온다면 (확률은 $\frac{1}{2}$) $H$ 가 $n$ 번 나오는 것에 어떠한 영향을 주지 않으므로 이 경우 $H$ 가 $n$ 번 나올 횟수의 기댓값 $E_n+1$ 이다. $2.$ 처음 두 면이 $HT$ 라면 (확률은 $\frac{1}{4}$) 마찬가지로 $H$ 가 $n$ 번 나오는 것에 어떠한 영향을 주지..

직사각형에서 긴 변의 길이가 짧은 변의 길이에 $2$ 배일 때 우리는 귀여운 직사각형이라고 하자. 임의의 정사각형을 귀여운 직사각형들로 덮을 때 $n \geq 5$ 인 자연수 $n$ 에 대해 임의의 정사각형은 $n$ 개의 귀여운 직사각형들로 덮을 수 있음을 보여라. -----풀이 스포를 주의하세요----- 귀여운 직사각형 하나를 아래처럼 $4$ 등분을 한다면 $4$ 개의 귀여운 직사각형을 얻을 수 있다. 이 말은 정사각형을 $k$ 개의 귀여운 직사각형으로 덮을 수 있다면 $k+3$ 개도 가능하다는 것을 의미한다. 따라서 $n = 5,6,7$ 인 경우에 덮을 수 있다는 예시를 들면 자연스레 $n \geq 5$ 인 경우에 증명이 된다. case1) $n=5$ 인 경우 정사각형을 반으로 자르고 그중 한 귀여운..

자연수 $a, b$ 에 대하여 $a! + b!$ 이 $a!b!$ 을 나눌 때 다음 부등식이 성립함을 보여라. $$3a \geq 2b+2$$ $($단, $n! = 1 \cdot 2 \cdots (n-1) \cdot n$ 이다.$)$ -----풀이 스포를 주의하세요----- (풀이에 앞서 $|$ 라는 기호를 사용할텐데 이는 '나눈다'라는 뜻이다. 예를들어 $2 | 4$ 는 $2$ 는 $4$ 를 나눈다는 뜻이다.) 우선 $a$ 와 $b$ 의 대소관계를 살펴보자. 만약 $a > b$ 라면 $3a > 3b \geq 2b+1$ 이므로 $3a \geq 2b+2$ 가 성립한다. 즉 $a \leq b$ 인 경우만 고려하면 충분하다. case1) $a=b$ 인 경우 만약 $a=b=1$ 이면 $a! + b! = 1+1=2$..

다음 식을 만족하는 자연수 $n$ 을 모두 구하시오. $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left[ \frac{ij}{n+1} \right] = \frac{n^2(n-1)}{4}$$ (단, $[x]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수를 나타내는 기호이다.) -----풀이 스포를 주의하세요----- case1) $n$ 이 짝수인 경우 왼쪽의 식을 보면 그냥 더하는 것은 어려워 보이므로 약간의 트릭을 사용한다. $[\;]$ 기호 안에 있는 수들의 합이 정수가 된다면 계산이 편리해지기 때문에 아래와 같이 대칭적으로 항들을 더하게 된다. $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left[ \frac{ij}{n+1} \right] = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1..

평면 위의 유한개의 점들의 집합 $S$ 의 임의의 서로 다른 두 점 $A, B$ 에 대하여 $AC = BC$ 가 되도록 하는 $S$ 의 점 $C$ 가 존재하면, $S$ 를 평행적이라 하자. $S$ 의 어떤 서로 다른 세 점 $A, B, C$ 에 대해서도 $PA = PB = PC$ 가 되도록 하는 $S$ 의 점 $P$ 가 존재하지 않으면, $S$ 를 비중심적이라 하자. (a) 임의의 자연수 $n \geq 3$ 에 대하여 $n$ 개의 점으로 이루어진 평행적인 집합이 존재함을 보여라. (b) $n$ 개의 점으로 이뤄진 평행적이고 비중심적인 집합이 존재하게 되는 자연수 $n \geq 3$ 을 모두 구하여라. -----풀이 스포를 주의하세요----- (a) 아무래도 이등변 삼각형이 되는 점을 찾는 것이다 보니 정..