프리드버그 선형대수학 1.7단원 : 극대 일차독립 부분집합들

1.7 Maximal linearly independent subsets

집합 $F$ 가 집합들의 집합이라고 할 때 $M \in F$ 에 대해 $M$ 자신을 제외하고 어떠한 $F$ 의 원소도 $M$ 을 포함하지 않는다면 $M$ 을  maximal 이라고 정의하자.

 

Maximal 의 예시

$1.$ nonempty set $S$ 의 모든 부분집합들의 집합을 $F$ 라고 하자. ($F$ 는 $S$ 의 power set 이라한다.) 그러면 $S$ 는 $F$ 의 maximal element 이다.

 

$2.$ $S$ 와 $T$ 는 nonempty set 이고 서로소(disjoint)이다. $F$ 는 $S$ 의 power set 과 $T$ 의 power set 의 합집합일 때 $S$ 와 $T$ 는 둘 다 $F$ 의 maximal element 이다.

 

$3.$ infinite set $S$ 의 모든 finite 부분집합을 모아 놓은 집합을 $F$ 라고 하자. $F$ 는 maximal element 을 가지지 않는다. 그 이유는 어떠한 $M \in F$ 를 잡아도 $M$ 에 속하지 않는 $F$ 의 원소 $s$ 가 존재하여 $M \cup \{s\}$ 가 $M$ 을 포함하는 $F$ 의 원소이므로 maximal element 가 존재할 수 없다.

 

집합들의 집합 $C$ 에 속하는 임의의 두 집합 $A,B$ 에 대해 $A \subseteq B$ 혹은 $B \subseteq A$ 를 만족한다면 $C$ 를 chain 이라고 정의한다.

 

$4.$ 자연수 $n$ 에 대해 $A_n = \{1,2,3,\cdots,n\}$ 으로 정의하자. 그러면 집합들의 집합 $C = \{A_n : n=1,2,3,\cdots\}$ 는 chain 이 된다. $(A_m \subseteq A_n \Leftrightarrow m \leq n)$

 

Maximal Principle

$F$ 는 집합들의 집합이고 $C \subseteq F$ 인 임의의 chain $C$ 에 대해 $C$ 의 각각의 원소를 포함하는 $F$ 의 원소가 존재한다면 $F$ 는 maximal 원소를 가진다.

 

vector space $V$ 의 부분집합 $S$ 에 대해 $S$ 의 부분집합 $B$ 가 존재하여 

 

$(a)$ $B$ 가 linearly independent 하다.

$(b)$ $B$ 를 포함하는 $S$ 의 linearly independent subset 은 $B$ 가 유일하다.

 

이 두 조건을 만족하면 $B$ 를 maximal linearly independent subset of $S$ 라고 한다.

 

vector space $V$ 에 대해 basis $\beta$ 는 $V$ 의 maximal linearly independent subset 이다. 그 이유는 $\beta$ 는 basis 이기 때문에 linearly independent 하고, $v \in V$ 이면서 $v \notin \beta$ 에 대해 $\beta \cup \{v\}$ 가 프리드버그 선형대수학 1.5단원 : 일차종속과 일차독립 의 Theorem 1.7 에 의해 linearly dependent 하므로 basis 는 maximal linearly independent subset 이다.

 

Theorem 1.12

vector space $V$ 의 부분집합 $S$ 가 $V$ 를 generate 하고 $\beta$ 가 $S$ 의 maximal linearly independent subset 일 때 $\beta$ 는 $V$ 의 basis 이다.

 

증명)

$\beta$ 는 maximal linearly independent subset 이므로 linearly independent 집합이어서 $\beta$ 가 $V$ 를 generate 함을 보이기만 하면 충분하다. $v \in S$ 에 대해 $v \notin span(\beta)$ 인 $v$ 가 존재한다고 가정하자. 프리드버그 선형대수학 1.5단원 : 일차종속과 일차독립 의 Theorem 1.7 에 의해 $\beta \cup \{v\}$ 는 linearly independent 임을 알 수 있다. $\beta$ 의 maximality 에 의해 모순이므로 모든 $v \in S$ 에 대해 $v \in span(\beta)$ 가 성립한다. 즉 $S \subseteq span(\beta)$ 이다. 그리고 $span(S) = V$ 이므로 프리드버그 선형대수학 1.4단원 : 선형결합과 일차연립방정식 의 Theorem 1.5 에 의해 $span(\beta) = V$ 이 성립한다. $\blacksquare$

 

Theorem 1.13

vector space $V$ 의 linearly independent subset $S$ 에 대해 $S$ 를 포함하는 $V$ 의 maximal linearly independent subset 이 존재한다.

 

증명)

$F$ 를 $S$ 를 포함하는 $V$ 의 linearly independent subset 들의 집합이라고 정의하자. $C \subseteq F$ 인 chain $C$ 에 대하여 $C$ 의 모든 원소의 합집합을 $U$ 라고 하자. $C$ 의 각 원소는 $S$ 를 포함하고 있는 $V$ 의 부분집합이므로 $S \subseteq U \subseteq V$ 가 성립한다.

$u_1, u_2, \cdots, u_n \in U$ 에 대해 scalar들 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 이 존재하여 $a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n=0$ 을 만족한다고 하자. $u_i \in U$ 이므로 $U$ 의 정의에 의해 $C$ 에 속한 집합 $A_i$ 가 존재하여 $u_i \in A_i$ 가 성립한다. $C$ 는 chain 이고 $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 에 대해서 각각 $A_i$ 들을 생각하면 최대 $n$ 개 이므로 $A_i$ 들을 모두 포함하는 $C$ 의 원소 $T$ 가 존재한다. $T$ 는 linearly independent subset 이므로 $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ 이어서 $U$ 도 linearly independent 가 된다. 따라서 $U$ 는 $S$ 를 포함하는 $V$ 의 linearly independent subset 이므로 $U \in F$ 가 성립하여 maximal principle 에 의해 $F$ 에서는 maximal element 가 존재하게 된다. $\blacksquare$

 

Corollary

모든 vector space 는 basis 를 가진다

 

증명)

위의 Theorem 1.12 에 의해 vector space 의 부분집합이 basis 일 필요충분조건은 vector space 에 maximal linearly independent subset 가 있는 것이라고 할 수 있다. 위의 Theorem 1.13 에 의해 임의의 vector space 에는 항상 maximal linearly independent subset 이 존재하므로 모든 vector space 는 basis 를 가진다고 할 수 있다. $\blacksquare$