프리드버그 선형대수학 1.5단원 : 일차종속과 일차독립

1.5 Linear dependence and linear independence

vector space $V$ 의 subset $S$ 에서 유한개의 서로 다른 vector들 $u_1, u_2, \cdots, u_n \in S$ 과 전부가 $0$ 이 아닌 scalar들 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 에 대해 

 

$$a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_nu_n = 0$$

 

을 만족하면 $S$ 는 vector space $V$ 에서 linearly dependent 하다고 정의한다.

정의에 의해 만약 $S$ 에 $0$ 이 들어간다면 $S$ 는 linearly dependent 하다. ($\because$ $0 = 1\cdot0$)

 

linearly dependent 예시

$M_{2\times3}(R)$ 에 속한 다음 원소들이 linearly dependent 한가?

 

$$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -4 & 0 & 5 \end{pmatrix} \,,\, \begin{pmatrix} -3 & 7 & 4 \\ 6 & -2 & -7 \end{pmatrix} \,,\, \begin{pmatrix} -2 & 3 & 11 \\ -1 & -3 & 2 \end{pmatrix} \right\}$$

 

풀이)

$$\begin{equation*} 5\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -4 & 0 & 5 \end{pmatrix} \,+\, 3\begin{pmatrix} -3 & 7 & 4 \\ 6 & -2 & -7 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} -2 & 3 & 11 \\ -1 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

 

이므로 위 세 집합의 원소들은 linearly dependent 하다. $\blacksquare$

 

vector space $V$ 의 subset $S$ 가 linearly dependent 하지 않으면 linearly independent 하다고 정의하자. 그럴 때 다음과 같은 $3$ 가지의 사실이 성립한다.

 

$1.$ empty set은 linearly independent 하다. 그 말은 linearly dependent 집합들은 무조건 nonempty여야 한다.

$2.$ nonzero vector 하나만 있는 집합 $\{u\}$ 은 linearly independent 하다. 

 

$$au=0 \Leftrightarrow u = a^{-1}(au) = a^{-1}0 = 0$$

 

이기 때문에 $\{u\}$ 는 linearly independent 하다.

 

$3.$ 어떤 집합이 linearly independent 일 필요충분조건은 그 집합 원소들의 linear combination 으로 $0$ 을 만들기 위해선 scalar 들이 모두 $0$ 이어야만 한다.

 

위의 $3$ 번 조건이 linearly independent 를 보일 때 가장 유용하게 사용된다. 이 방법을 사용하여 아래의 예시를 증명해 보자.

 

linearly independent 예시

$0 \leq k \leq n$ 에 대해 $p_k(x) = x^k+x^{k+1}+\cdots+x^n$ 라고 정의하자. 그럴 때 $\{p_0(x), p_1(x), \cdots, p_n(x)\}$ 집합이 $P_n(F)$ 에서 linearly independent 함을 보여라.

 

풀이)

scalar $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 에 대해 다음 식을 만족한다고 하자.

 

$$a_0p_0(x) + a_1p_1(x) + \cdots + a_np_n(x) = 0$$

 

위의 식을 정리하면 

 

$$a_0 + (a_0+a_1)x + (a_0+a_1+a_2)x^2+\cdots+(a_0+a_1+\cdots+a_n)x^n = 0$$

 

처럼 정리가 되고 모든 $x$ 에 대해 성립하는 항등식이므로 계수들은 모두 $0$ 이어야 한다.

 

$a_0 = 0$

$a_0+a_1 = 0$

$\vdots$

$a_0+a_1+\cdots+a_n=0$

 

따라서 $a_0 = a_1 = \cdots = a_n = 0$ 이 성립하므로 linearly independent 하다. $\blacksquare$

 

Theorem 1.6

vector space $V$ 에 대해 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$ 인 부분집합 $S_1, S_2$ 에 대해 $S_1$ 이 linearly dependent 하다면 $S_2$ 도 linearly dependent 하다.

 

증명)

$S_1$ 이 linearly dependent 하므로 $S_1$ 에 속한 vector $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 과 전부 $0$ 은 아닌 scalar $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 이 존재하여

 

$$a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_nu_n = 0$$

 

을 만족하게 된다. $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 들은 모두 $S_2$ 에도 속하므로 $S_2$ 도 linearly dependent 하다고 할 수 있다.

 

Corollary

vector space $V$ 에 대해 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$ 인 부분집합 $S_1, S_2$ 에 대해 $S_2$ 가 linearly independent 하다면 $S_1$ 도 linearly independent 하다.

 

증명)

정확히 Theorem 1.6의 대우명제 이므로 당연하게 성립한다. $\blacksquare$

 

만약 $S$ 가 $2$ 개 이상의 원소를 가지고 있는 linearly dependent 집합이라면 $S$ 에 속한 원소들의 linear combination 으로 표현되는 $v \in S$ 가 존재한다. 이 말은 $S$ 에서 $v$ 를 제거하더라도 $span(S)$ 집합은 변화가 없다는 것을 의미한다. 이러한 성질에 의해 $S$ 의 어떠한 proper subset 도 span 하였을 때 $span(S)$ 가 되지 않는다면 $S$ 는 linearly independent 하다고 할 수 있다. 방금 한 이야기를 아래의 Theorem 1.7을 통해 다른 관점에서 접근해 보자.   

 

Theorem 1.7

vector space $V$ 의 부분집합 $S$ 가 linearly independent 라고 하자. vector $v$ 는 $V$ 에 속하지만 $S$ 에 속하지 않는 원소라면 $S \cup \{v\}$ 이 linearly dependent 일 필요충분조건은 $v \in span(S)$ 이다.

 

증명)

먼저 $S \cup \{v\}$ 이 linearly dependent 이라고 가정하자. 그러면 $S \cup \{v\}$ 에 속한 vector $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 과 scalar $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 이 존재하여 

 

$$a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_nu_n = 0$$

 

을 만족한다. 만약 $v$ 가 $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 중 존재하지 않는다면 모두 $S$ 에 속하는 vector들로 $S$ 가 linearly independent 라는 점에 모순이다. 따라서 $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 중 하나는 $v$ 이어야 하므로 일반성을 잃지 않고 $u_1 = v$ 라고 하자. 

 

$$a_1v + a_2u_2 + \cdots + a_nu_n = 0$$

$$v = a_1^{-1}(-a_2u_2-\cdots-a_nu_n) = -(a_1^{-1}a_2)u_2 - \cdots - (a_1^{-1}a_n)u_n$$

 

따라서 $v$ 는 $u_2, u_3, \cdots, u_n$ 들의 linear combination 으로 표현되므로 $v \in span(S)$ 이다. $\blacksquare$

 

반대로 $v \in span(S)$ 라고 가정하자. 그러면 $S$ 에 속하는 vector $v_1, v_2, \cdots, v_m$ 와 scalar $b_1, b_2, \cdots, b_m$ 이 존재하여 다음을 만족한다.

 

$$v = b_1v_1+b_2v_2+\cdots+b_mv_m$$

$$b_1v_1+b_2v_2+\cdots+b_mv_m+(-1)v = 0$$

 

을 만족하므로 $S \cup \{v\}$ 는 linearly dependent 하다. $\blacksquare$