프리드버그 선형대수학 1.4단원 : 선형결합과 일차연립방정식

1.4 Linear combinations and systems of linear equations

$V$ 는 vector space이고 $S$ 는 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합일 때 $u_1, u_2, \cdots, u_n \in S$ $\,,\, a_1, a_2, \cdots, a_n \in F$ 가 존재하여 $v \in V$ 에 대해 $v = a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots +a_nu_n$ 를 만족한다면 $v$ 는 $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 의 linear combination이라고 한다. 또한 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 은 linear combination의 coefficients라고 한다.

 

linear combination의 예시

$(2,6,8)$ 은 다음의 $5$ 개의 벡터들의 linear combination으로 표현 가능한가?

 

$$\{(1,2,1), (-2,-4,-2), (0,2,3), (2,0,-3), (-3,8,16)\}$$

 

풀이)

$(2,6,8) = a_1(1,2,1)+a_2(-2,-4,-2)+a_3(0,2,3)+a_4(2,0,-3)+a_5(-3,8,16)$ 인 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 를 찾으면 된다. 

이 방정식을 정리해보면 다음과 같다.

 

$$a_1-2a_2 \qquad\quad +2a_4-3a_5 = 2$$

$$2a_1-4a_2+2a_3 \qquad\quad +8a_5 = 6 \;$$

$$a_1-2a_2 +3a_3 -3a_4+16a_5 = 8$$

 

이 방정식들을 풀기 위해서 unknown들을 줄이는 과정을 진행하겠다. 두 번째, 세 번째 식에 각각 첫 번째 식에서 $-2, -1$ 을 곱한 것을 더하면 아래와 같이 식이 변형된다.

 

$$a_1-2a_2 \qquad\quad +2a_4-3a_5 = 2$$

$$\qquad\quad\qquad 2a_3 -4a_4 +14a_5 = 2$$

$$\qquad\quad\qquad 3a_3 -5a_4+19a_5 = 6$$

 

이렇게 제거를 하고 난 후 두 번째 식의 첫 번째 항을 기준으로 다시 동일하게 진행한다. 일단, 두 번째 식의 $a_3$ 계수를 $1$ 로 맞추기 위해 $\frac{1}{2}$ 을 곱해준다.

 

$$a_1-2a_2 \qquad\quad +2a_4-3a_5 = 2$$

$$\qquad\quad\qquad\;\, a_3 -2a_4 +7a_5 = 1$$

$$\qquad\quad\qquad 3a_3 -5a_4+19a_5 = 6$$

 

그러고 나서 세 번째 식에 두 번째 식에 $-3$ 곱한 것을 더해주면 $a_3$ 가 있는 식은 하나만 남게 된다.

 

$$a_1-2a_2 \qquad\quad +2a_4-3a_5 = 2$$

$$\qquad\quad\qquad\;\, a_3 -2a_4 +7a_5 = 1$$

$$\qquad\quad\qquad\qquad\quad a_4-2a_5 = 3$$

 

세 번째 식의 첫 번째 항은 $a_4$ 가 되고 마찬가지로 나머지 식들의 $a_4$ 를 모두 제거해 준다.

 

$$a_1-2a_2 \qquad\quad \qquad\quad +a_5 = -4$$

$$\qquad\quad\qquad\;\, a_3 \qquad\quad +3a_5 = 7$$

$$\qquad\quad\qquad\qquad\quad\; a_4-2a_5 = 3$$

 

위 결과를 잘 살펴보면 $a_1, a_3, a_4$ 가 $a_2, a_5$ 로 표현가능함을 알 수 있고 

 

$$(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) = (2a_2-a_5-4,a_2,-3a_5+7,2a_5+3,a_5)$$

 

라는 해를 구할 수 있다. 즉 $(2,6,8)$ 은 vector들의 linear combination으로 표현가능하다.

 

방금 한 연산처럼 linear equations를 풀 때 사용하는 연산을 크게 $3$ 가지 범주로 나눌 수 있는데 

 

$1.$ 두 식의 순서를 바꾼다.

$2.$ 식에 $0$ 이 아닌 상수를 곱한다.

$3.$ 서로 다른 두 식에 대해 어떤 식에 $0$ 이 아닌 상수를 곱한 값을 나머지 식에 더한다.

 

이와 같다. 그러면 우리는 어떤 결과를 위해 위 세 가지 시행을 진행하는지 알아보겠다.

 

$1.$ 각 식의 계수가 $0$ 이 아닌 첫 번째 항은 계수가 $1$ 이다.

$2.$ 각 식의 계수가 $0$ 이 아닌 첫 번째 항은 그 식에서만 유일하게 나타난다.

$3.$ 각 식의 계수가 $0$ 이 아닌 첫 번째 항의 첨자가 그전에 나온 식들의 첫 번째 항의 첨자들보다 크다.

 

$(2,6,8)$ 의 linear combination 문제처럼 최종적으로 위와 같은 형태로 변형시키면 해를 구하기 쉬워져서 세 가지 시행을 진행한다고 생각하면 된다.

 

vector space $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 에 대하여 $S$ 에 속한 모든 vector들의 linear combination로 구성되는 집합을 span of $S$ 라 하고 $span(S)$ 라 적는다. (그리고 $span(\emptyset) = \{0\}$ 이라 정의하자)

 

Theorem 1.5

vector space $V$ 의 부분집합 $S$ 에 대하여 $span(S)$ 는 $V$ 의 subspace이다. 또한, $S$ 를 포함하는 임의의 $V$ 의 subspace는 $span(S)$ 도 포함한다.

 

증명)

만약 $S = \emptyset$ 이라면 $span(\emptyset) = \{0\}$ 이어서 $V$ 의 subspace이고 모든 subspace는 $\{0\}$ 을 포함하기 때문에 $S = \emptyset$ 일 때 성립한다.

$S \neq \emptyset$ 인 경우 $z \in S$ 에 대하여 $0z = 0$ 이므로 $0 \in span(S)$ 가 성립한다. 

$x ,y \in span(S)$ 에 대해 $v_1, v_2, \cdots, v_n, u_1, u_2, \cdots, u_m \in S$ 가 존재하여 $x = a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n \,,\,$ $y=b_1u_1+b_2u_2+\cdots+b_mu_m$ 이 성립한다고 가정하자.

 

$$x+y = a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n+b_1u_1+b_2u_2+\cdots+b_mu_m$$

$$cx = (ca_1)v_1+(ca_2)v_2+\cdots+(ca_n)v_n$$

 

vector space는 addition이 두 vector를 더했을 때 vector space에 포함된다고 정의되지만, 순차적으로 하나씩 더하면 귀납적으로 $n$ 개의 vector를 더해도 vector space에 포함된다고 이야기할 수 있다. 즉 $x+y, cx$ 둘 다 $span(S)$ 에 포함되므로 $span(S)$ 는 $V$ 의 subspace가 된다.

 

$S$ 를 포함하는 임의의 $V$ 의 subspace $W$ 를 생각하자. 윗부분과 동일하게 $x \in span(S)$ 에 대해 $x = a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n$ 으로 표현된다고 하자. $v_1, v_2, \cdots, v_n \in S$ 이므로 $v_1, v_2, \cdots, v_n \in W$ 가 성립하고 $W$ 는 subspace이자 vector space이므로 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 의 linear combination인 $a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n \in W$ 가 성립하게 되어 $span(S) \subseteq W$ 가 성립한다. $\blacksquare$

 

vector space $V$ 에 대해 $V$ 의 부분집합 $S$ 가 $span(S) = V$ 를 만족한다면 $S$ generate(or span) $V$ 라고 한다. 예시를 들어보면 다음과 같다.

 

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \,,\, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \,,\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \,,\, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

 

이 네 개의 행렬로 $M_{2 \times 2}(R)$ 을 generates 할 수 있는데 증명은 다음과 같다.

 

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = (\frac{a_{11}}{3} +\frac{a_{12}}{3}+\frac{a_{21}}{3}-\frac{2a_{22}}{3}) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\qquad\qquad \quad \; + \; (\frac{a_{11}}{3} +\frac{a_{12}}{3}-\frac{2a_{21}}{3}+\frac{a_{22}}{3}) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\qquad\qquad \quad \; + \; (\frac{a_{11}}{3} -\frac{2a_{12}}{3}+\frac{a_{21}}{3}+\frac{a_{22}}{3}) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\qquad\qquad \quad \; + \; (-\frac{2a_{11}}{3} +\frac{a_{12}}{3}+\frac{a_{21}}{3}+\frac{a_{22}}{3}) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$