프리드버그 선형대수학 1.1단원 : 벡터란 무엇인가

1.1 Introduction

vector는 방향과 길이로 정해진다. vector들은 방향이 존재하기 때문에 더할 때 수처럼 더하지 않고 parallelogram law를 활용하여 더해지게 된다. 이해하기 쉽게 그림을 그려보면 아래와 같다.

 

더하고자 하는 두 벡터의 시점을 $P$ 에 일치시켰을 때 $x + y$ 는 $x$ 와 $y$ 가 이루는 평행사변형의 대각선과 같다. $P$ 를 원점으로 이동시키고 coordinate system의 관점에서 덧셈 addition을 정의해 보자.

$x = (a_1, a_2)\;,\; y=(b_1, b_2)$ 라고 한다면 $\overrightarrow{PQ} = (a_1+b_1, a_2+b_2)$ 로 정의되는 것이다.

 

앞서 '덧셈'에 대하여 정의를 하였다면 '곱셈'에 대해서도 정의를 해보자.

곱셈은 scalar multiplication이라하고 vector에 실수를 곱하는 것으로 정의한다. 실수 $t$ 와 vector $x$ 에 대해 $tx$ 는 $x$ 와 나란한 방향을 가진 vector가 된다. 좀 더 자세하게는 $t \geq 0$ 이면 $tx$ 와 $x$ 는 동일한 방향을, $t < 0$ 이면 $tx$ 와 $x$ 는 반대의 방향을 가지게 된다. 마찬가지로 coordinate system의 관점에서 곱셈을 정의해 보자.

$x = (a_1, a_2)$ 라고 한다면 $tx = (ta_1, ta_2)$ 로 정의되는 것이다.

 

그리고 $\overrightarrow{OA} = u \; , \; \overrightarrow {OB} = v$ 라 할 때 $A, B$ 를 지나는 직선의 방정식은

 

$$x = u+tw =u+t(v-u)$$

 

로 나타낼 수 있다.

 

 

마지막으로, 일직선상에 있지 않은 세 점 $A, B, C$ 는 하나의 평면을 결정한다. 즉, 세 점을 지나는 평면은 유일하게 정해지고 그 평면을 $W$ 라고 하면 $W$ 위의 점은 어떻게 표현될지 알아보자.

$W$ 위의 임의의 점 $S$ 에 $\overrightarrow{AS}$ 를 $\overrightarrow{AB} \, ,$ $\overrightarrow{AC}$ 방향의 성분으로 나눠서 $\overrightarrow{AS}$ 를 표현하는 것이다. 

 

 

따라서 $S$ 의 위치를 나타내는 vector $x$ 는 

 

$$x = \mathbf{A} + su + tv$$

 

로 표현되고 $x$ 는 임의의 벡터이며 따라서 $s, t$ 도 임의의 실수이다.