말랑말랑 수학문제 #17

<문제>

직사각형에서 긴 변의 길이가 짧은 변의 길이에 $2$ 배일 때 우리는 귀여운 직사각형이라고 하자. 임의의 정사각형을 귀여운 직사각형들로 덮을 때 $n \geq 5$ 인 자연수 $n$ 에 대해 임의의 정사각형은 $n$ 개의 귀여운 직사각형들로 덮을 수 있음을 보여라.

 

-----풀이 스포를 주의하세요-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<풀이>

귀여운 직사각형 하나를 아래처럼 $4$ 등분을 한다면 $4$ 개의 귀여운 직사각형을 얻을 수 있다. 이 말은 정사각형을 $k$ 개의 귀여운 직사각형으로 덮을 수 있다면 $k+3$ 개도 가능하다는 것을 의미한다. 

 

 

따라서 $n = 5,6,7$ 인 경우에 덮을 수 있다는 예시를 들면 자연스레 $n \geq 5$ 인 경우에 증명이 된다.

 

case1) $n=5$ 인 경우

 

 

정사각형을 반으로 자르고 그중 한 귀여운 직사각형을 $4$ 등분하게 되면 총 $5$ 개의 귀여운 직사각형이 생긴다.

 

case2) $n=6$ 인 경우

 

 

정사각형 한 변의 길이의 $\frac{1}{3}$ 이 귀여운 직사각형의 짧은 변이 되도록 위 그림처럼 $4$ 개를 배치하자. $4$ 개의 모서리에 순환하는 형태로 배치하게 되면 자연스럽게 가운데의 공간에는 정사각형이 남는데 반으로 나눠주게 되면 $2$ 개의 귀여운 직사각형을 얻게 된다.

 

case2) $n=7$ 인 경우

 

 

정사각형을 반으로 자르고 그중 한 귀여운 직사각형을 $9$ 등분하게 되면 총 $10$ 개의 귀여운 직사각형이 생긴다. 우리는 $7$ 개의 귀여운 직사각형을 만들고 싶으므로 $9$ 등분하여 생긴 귀여운 직사각형 중 인접한 $4$ 개를 하나로 합치면 된다.

 

따라서 $n = 5,6,7$ 일 때 모두 성립함을 보였으므로 $n\geq 5$ 인 경우에 대해 임의의 정사각형은 $n$ 개의 귀여운 직사각형들로 덮을 수 있다. $\blacksquare$