말랑말랑 수학문제 #23

<문제>

트럼프 카드 $52$ 장을 한 장씩 뽑을 때 에이스가 나오기 전까지 뽑아야 하는 카드의 수의 기댓값을 구하여라. (단, 한 번 뽑은 카드는 다시 올려 놓지 않는다.)

 

-----풀이 스포를 주의하세요-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<풀이>

전체 $52$ 장 중 에이스가 총 $4$ 장 있으므로 남은 $48$ 장에 대하여 다음과 같은 확률변수 $X_i \,(1\leq i \leq 48)$ 를 생각하자.

 

$X_i=1$ : $i$ 번째 카드가 모든 에이스들 보다 앞에 있는 경우

$X_i=0$ : 그 외의 경우

 

이렇게 정의를 하게 되면 에이스가 나오기 전까지 뽑아야 하는 카드의 수 $X$ 는

 

$$X = X_1+X_2+\cdots+X_48$$

 

로 표현된다. 우리는 $X$ 의 기댓값을 구해야하는데 $E[X] = E[X_1]+E[X_2]+\cdots+E[X_{48}]$ 이므로 $E[X_i]$ 만 구하면 충분하다.

$X_i$ 가 $1$ 일 확률은 $i$ 번째 카드와 에이스 $4$ 장의 배치만 신경쓰면 되므로 $\frac{1}{5}$ 이 된다. 따라서 $E[X_i] = 1 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$ 이다.

 

따라서 $E[X] = \frac{1}{5}+ \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{5} = \frac{48}{5}$ 이다.

답) $\frac{48}{5}$개